Volume dengan Metode Washer: Memutar Sumbu Lain
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | Luar |
| inner/ˈɪnə/ | Dalam |
Washer di sekitar garis bergeser
- Bagian terakhir: putar daerah dua kurva tentang garis yang bukan sumbu $x$- atau $y$.
- Gabungkan dua ide yang baru saja Anda pelajari: washer (celah → cincin) dan sumbu bergeser (sesuaikan jari-jari).
- Rumusnya tetap $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; hanya $R$ dan $r$ yang diukur ulang ke garis baru.
- Dapatkan kedua jarak dengan benar dan kalkulusnya menjadi rutin.
Kedua jari-jari diukur ke sumbu baru
- Untuk sumbu horizontal $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ dan $r=|\text{near curve}-k|$.
- Masing-masing jari-jari adalah jarak dari kurvanya ke garis tergeser, bukan ke $y=0$.
- Jari-jari luar mencapai kurva yang lebih jauh dari sumbu; jari-jari dalam yang lebih dekat.
- Lalu $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ seperti biasa.
Dua kurva di atas sumbu yang digeser
y = ax² + bx
Berputar di sekitar $y=-1$, kedua jari-jari bertambah sebesar $1$ — luar $\sqrt x+1$, dalam $x+1$; masih $R^2-r^2$.
Memutar wilayah antara $y=\sqrt x$ dan $y=x$ tentang $y=-1$, jari-jari luar dan dalam adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Geser kedua jari-jari oleh $+1$ ke bawah ke $y=-1$.
Untuk sumbu yang digeser, Anda harus mengukur ulang jari-jari ____ (luar dan dalam) ke garis baru.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Geser keduanya, bukan hanya satu.
Perhatikan kurva mana yang sekarang lebih jauh
- Menggeser sumbu dapat menukar kurva mana yang luar vs. dalam — periksa kembali setelah memindahkan garis.
- Memutar di sekitar garis di bawah daerah: kurva bawah kini menjadi dalam (lebih dekat dengan sumbu).
- Memutar di sekitar garis di atas daerah: perannya berbalik.
- Selalu tentukan luar/dalam terhadap sumbu putar yang sebenarnya.
Setelah menggeser sumbu, Anda harus...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Posisi sumbu dapat menukar peran luar/dalam.
Tetap: kuadratkan jari-jari terlebih dahulu
- Sama seperti washer apa pun, kurangkan $R^2-r^2$ — kuadratkan (bergeser) jari-jari sebelum dikurangkan.
- Jangan pernah $(R-r)^2$, dan jangan gunakan kembali jari-jari sumbu biasa.
- Gambar dua segmen jarak dari sumbu ke setiap kurva agar tetap lurus.
- Kemudian integralkan sepanjang variabel yang sesuai.
Bahkan tentang sumbu yang digeser, integran washer adalah $R^2-r^2$, bukan $(R-r)^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Selalu kuadratkan masing-masing jari-jari sebelum dikurangkan.
Volume untuk $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ pada $[0,1]$ tentang $y=-1$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
Metode washer yang digeser menggabungkan dua ide mana?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Washer (celah → cincin) plus a shifted radius.
Dua jebakan gabungan di sini: (1) geser kedua jari-jari ke sumbu baru (bukan hanya satu), dan (2) tetap gunakan $R^2-r^2$, bukan $(R-r)^2$. Setelah digeser, periksa kembali kurva mana yang luar — posisi sumbu dapat menukar peran. Sketsa kedua segmen jari-jari ke garis aktual sebelum dikuadratkan.
Putar daerah antara $y=\sqrt x$ (atas) dan $y=x$ (bawah) pada $[0,1]$ di sekitar garis $y=-1$.
- Geser kedua jari-jari ke bawah ke $y=-1$: luar $R=\sqrt x+1$, dalam $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
Metode washer tentang sumbu bergeser: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, tetapi ukur ulang kedua luar dan dalam jari-jari ke garis tersebut (misalnya tambahkan geseran untuk $y=k$ di bawah daerah). Periksa kembali kurva mana yang luar, dan selalu kuadratkan setiap jari-jari sebelum dikurangkan — jangan pernah $(R-r)^2$.