Volume dengan Penampang: Segitiga dan Setengah Lingkaran
DiperkenalkanIde yang sama, bentuk irisan berbeda
- Resep volume $V=\int_a^b A(x)\,dx$ berlaku untuk bentuk potongan melintang apa pun — Anda hanya perlu $A(x)$.
- Di luar persegi, AP menyukai potongan melintang segitiga dan setengah lingkaran.
- Satu-satunya langkah baru adalah rumus luas yang tepat untuk bentuk tersebut, dituliskan dalam variabel alas.
- Dapatkan $A(x)$ dari geometri, lalu integralkan seperti biasa.
Potongan melintang segitiga
- Untuk segitiga sama sisi dengan sisi $s$: luasnya $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- Untuk segitiga siku-siku sama kaki dengan sisi miring $s$: luasnya $=\dfrac12 s^2$; untuk segitiga sembarang: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- Gunakan panjang basis $s(x)$ (jarak yang dilintasi irisan) dalam rumus luas segitiga yang benar.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, lalu integralkan.
Alas yang irisan-irisannya bervariasi
y = a·√x
Wilayah alas yang sama memberikan volume berbeda tergantung bentuk irisan — hanya konstanta luas dikali $s(x)^2$ yang berubah.
Luas segitiga sama sisi dengan sisi $s$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Segitiga sama sisi: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
Cocokkan setiap bentuk penampang dengan konstanta luasnya (dikali $s^2$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Setiap luas adalah konstantanya dikali kuadrat alas.
Potongan melintang setengah lingkaran
- Sebuah setengah lingkaran dengan diameter $s$ memiliki jari-jari $\dfrac{s}{2}$, sehingga luasnya adalah $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- Alas irisan adalah diameter, jadi bagi dua untuk mendapatkan jari-jari sebelum dikuadratkan.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- Perhatikan faktor ini: diameter $\to$ menjadi radius memerlukan pembagian dua, yang mudah terlewatkan.
Penampang setengah lingkaran memiliki diameternya pada alas $s(x)$. Jari-jarinya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Alas adalah diameter, sehingga jari-jari adalah setengahnya.
Untuk setengah lingkaran yang diameternya adalah alas $s$, Anda harus membagi dua $s$ untuk mendapatkan jari-jari sebelum dikuadratkan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jari-jari $=s/2$; melupakannya adalah kesalahan umum.
Selalu "luas dalam fungsi alas"
- Semua kasus ini mengikuti $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- Persegi $\to 1$; segitiga sama sisi $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; setengah lingkaran $\to \tfrac{\pi}{8}$; siku-siku sama kaki $\to \tfrac12$.
- Temukan alas $s(x)$ dari daerah, masukkan ke dalam rumus luas bentuk, lalu integralkan.
- Kalkulusnya identik; hanya konstanta pengalinya saja yang berubah.
Alas di bawah $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$, irisan setengah lingkaran: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. Kemudian $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
Setiap volume penampang adalah $\int_a^b A(x)\,dx$, di mana $A(x)$ = (konstanta bentuk) $\times s(x)$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Luas berskala dengan kuadrat alas.
Untuk setengah lingkaran, alas irisan adalah diameter, sehingga jari-jari adalah $\frac{s}{2}$ — jangan kuadratkan seluruh alas seolah-olah itu adalah jari-jari. Dan sesuaikan rumus segitiga dengan jenis yang disebutkan (sama sisi vs. siku-siku sama kaki); mereka memiliki konstanta yang berbeda. Alas $s(x)$ tetap merupakan selisih yang dilalui irisan.
Alas adalah daerah di bawah $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$; potongan melintangnya adalah setengah lingkaran dengan diameter pada alas.
- Diameter $s(x)=\sqrt x$, sehingga jari-jari $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
Untuk potongan melintang segitiga atau setengah lingkaran, gunakan $V=\int_a^b A(x)\,dx$ dengan luas bentuk tersebut: segitiga sama sisi $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, siku-siku sama kaki $\frac12 s^2$, setengah lingkaran $\frac{\pi}{8}s^2$ (alas $=$ diameter, sehingga jari-jari $=\frac s2$). Temukan alas $s(x)$ dan integralkan.