Volume dengan Metode Cakram: Memutar Sumbu x atau y
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| disc/dɪsk/ | diska |
| disc method/dɪsk ˈmeθəd/ | metode disk |
Memutar daerah menjadi benda padat
- Ambil sebuah daerah, putar di sekitar sebuah sumbu, dan daerah tersebut akan menyapu sebuah benda solid perputaran.
- Iris secara tegak lurus terhadap sumbu dan setiap irisan akan menjadi cakram tipis (disk) (seperti koin).
- Jumlahkan volume cakram-cakram tersebut: metode cakram.
- Ini adalah rumus penampang melintang dengan irisan berbentuk lingkaran.
Setiap irisan dalam metode cakram adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Memutar menyapu cakram bulat.
Rumus cakram
- Setiap cakram adalah lingkaran berjari-jari $R$ dan ketebalan $dx$, sehingga volumenya adalah $\pi R^2\,dx$.
- Jika daerah antara $y=R(x)$ dan sumbu diputar di sekitar sumbu $x$:
-
$$V=\pi\int_a^b \big[R(x)\big]^2\,dx$$
- Jari-jari $R(x)$ adalah jarak dari kurva ke sumbu perputaran — di sini hanya $f(x)$.
Profil yang berputar menjadi cakram
y = a·√x
Memutar $y=\sqrt x$ sekitar sumbu $x$ menumpuk cakram berjari-jari $\sqrt x$ — volume $\pi\int R^2\,dx$.
Memutar $y=R(x)$ tentang sumbu $x$, volumenya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap cakram adalah $\pi R^2\,dx$.
Memutar di sekitar sumbu-y
- Putar di sekitar sumbu $y$ alih-alih? Iris secara horizontal dan tuliskan jari-jari dalam variabel $y$.
-
$$V=\pi\int_c^d \big[R(y)\big]^2\,dy$$
- Sekarang $R(y)$ adalah jarak horizontal dari kurva $x=g(y)$ ke sumbu $y$.
- Rumus yang sama, diintegrasikan dalam $y$, dengan pengukuran jari-jari secara menyamping.
Dalam metode cakram, jari-jari $R$ adalah ____ dari kurva ke sumbu putaran.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jari-jari = jarak ke sumbu.
Memutar tentang sumbu $y$, Anda mengintegralkan dalam $y$ menggunakan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cocokkan variabel dengan sumbu: sumbu $y$ → $R(y)$, integralkan dalam $y$.
Jari-jari adalah sebuah jarak
- Keterampilan kunci: identifikasi secara benar $R$ sebagai jarak dari kurva ke sumbu.
- Memutar di sekitar sumbu $x$, kurva $y=f(x)$ menghasilkan jari-jari $R=f(x)$ (tingginya).
- Memutar di sekitar sumbu $y$, kurva $x=g(y)$ menghasilkan jari-jari $R=g(y)$.
- Kuadratkan jari-jari, kalikan dengan $\pi$, dan integralkan sepanjang sumbu.
Memutar $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$ tentang sumbu $x$ ($R^2=x$) menghasilkan $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\cdot8=8\pi$.
Metode cakram mencakup faktor $\pi$ dan dikuadratkan jari-jarinya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$V=\pi\int R^2$.
Jangan lupa $\pi$ dan penguadratan — metode cakram adalah $\pi\int R^2$, bukan $\int R$. Dan sesuaikan variabel integrasi dengan sumbu: berputar sekitar sumbu $x$ → integralkan dalam $x$ dengan $R(x)$; tentang sumbu $y$ → integralkan dalam $y$ dengan $R(y)$. Mencampur keduanya adalah kesalahan umum.
Putar daerah di bawah $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$ di sekitar sumbu $x$.
- Jari-jari $R(x)=\sqrt x$, sehingga $R^2=x$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8\pi$.
- Setiap cakram adalah lingkaran berjari-jari $\sqrt x$ yang ditumpuk sepanjang sumbu $x$.
Metode disk memutar suatu daerah terhadap sebuah sumbu menjadi irisan bulat: $V=\pi\int_a^b[R(x)]^2\,dx$ tentang sumbu $x$, atau $\pi\int_c^d[R(y)]^2\,dy$ tentang sumbu $y$. Jari-jari $R$ adalah jarak dari kurva ke sumbu tersebut. Jangan pernah mengabaikan $\pi$ atau kuadratnya.