Menemukan Luas Antara Kurva yang Dinyatakan sebagai Fungsi y
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | potongan horizontal |
Iris secara horizontal alih-alih vertikal
- Beberapa daerah sulit ditangani dengan strip vertikal — misalnya parabola yang terbuka ke samping.
- Solusinya: iris menjadi strip horizontal dan integralkan terhadap $y$ alih-alih $x$.
- Semua konsep dari pelajaran sebelumnya diputar 90°: kurva berubah menjadi fungsi dari $y$, dan Anda mengurangi kanan dikurangi kiri.
- Ide yang sama, namun diputar: jumlahkan lebar celah horizontal.
Kanan dikurangi kiri
- Tulis batas-batas sebagai fungsi dari $y$: $x=f(y)$ (paling kanan) dan $x=g(y)$ (paling kiri).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- Setiap iris horizontal memiliki lebar $f(y)-g(y)$ dan tinggi $dy$.
- Kurangi paling kanan dikurangi paling kiri agar lebarnya tetap positif.
Parabola yang membuka menyamping
y = ax² + bx + c
Ketika kurva membuka menyamping, irisan horizontal (kanan dikurangi kiri, diintegrasikan dalam $y$) adalah pilihan yang paling tepat.
Dengan irisan horizontal, luasnya adalah $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ di mana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Irisan horizontal: kurva kanan dikurangi kurva kiri.
Batasnya kini adalah nilai $y$
- Batas-batas $c$ dan $d$ adalah nilai $y$ terendah dan tertinggi dari daerah tersebut — seringkali merupakan nilai $y$ perpotongan kurva.
- Selesaikan $f(y)=g(y)$ (dalam hal $y$) untuk mendapatkan batas-batas tersebut.
- Di antara kedua batas itu, uji kurva mana yang lebih jauh ke kanan.
- Kemudian integralkan lebar kanan dikurangi kiri dari $c$ hingga $d$.
Untuk integral $dy$, batas integrasinya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mengintegrasikan dalam $y$ berarti batas-$y$.
Di mana $x=y^2$ dan $x=y+2$ berpotongan (dalam $y$)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
Kapan memilih $dy$ daripada $dx$
- Pilih iris horizontal ketika kurva secara alami berbentuk $x=$(fungsi dari $y$), atau ketika iris vertikal akan memerlukan pemecahan daerah.
- Daerah yang dibatasi oleh kurva berbeda di sisi kiri dan kanan (tetapi titik tunggal di atas/bawah) adalah situasi $dy$.
- Jika kurva "atas" akan berubah di tengah-tengah dengan penggunaan iris vertikal, iris horizontal dapat menghindari pemecahan.
- Pilih orientasi apa pun yang membuat setiap strip membentang dari satu kurva bersih ke satu kurva bersih lainnya.
Luas yang dibatasi oleh $x=y^2$ dan $x=y+2$ adalah $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. Hitunglah (desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Nilainya adalah $\tfrac92=4.5$.
Untuk integral irisan horizontal, tuliskan setiap batas sebagai $x$ dalam bentuk $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Irisannya berjalan secara horizontal, jadi nyatakan $x$ sebagai fungsi dari $y$.
Irisan horizontal lebih disukai ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurva menyamping cocok untuk integrasi $dy$.
Dengan iris horizontal, Anda mengintegralkan kanan dikurangi kiri dalam bentuk $y$, dan batas-batasnya adalah nilai $y$ (bukan nilai $x$). Mencampuradukkan keduanya — menggunakan batas $x$ dengan integral $dy$, atau mengurangi atas dikurangi bawah secara horizontal — akan menghasilkan jawaban yang salah. Tulis ulang setiap kurva batas sebagai $x$ dalam terms of $y$ terlebih dahulu.
Temukan luas yang dibatasi oleh $x=y^2$ dan $x=y+2$.
- Titik potong (dalam $y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- Pada $(-1,2)$, garis $x=y+2$ berada lebih jauh ke kanan (uji $y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
Untuk kurva yang diberikan sebagai fungsi dari $y$, gunakan iris horizontal: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, mengintegralkan paling kanan dikurangi paling kiri dengan batas $y$ dari titik potong. Pilih $dy$ ketika itu memungkinkan setiap strip berjalan mulus dari satu kurva ke kurva lain tanpa perlu memecahnya.