Menemukan Luas Antara Kurva yang Berpotongan di Lebih Dari Dua Titik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | subinterval |
Ketika kurva terus saling melintasi
- Terkadang dua kurva berpotongan lebih dari dua kali, dan kurva "atas" berganti sepanjang perjalanan.
- Satu integral atas dikurangi bawah tunggal akan menghasilkan tanda yang salah pada sebagian daerah.
- Solusinya: pecah daerah tersebut pada setiap titik persilangan dan integralkan masing-masing bagian secara terpisah.
- Jumlahkan luas-luas (positif) dari setiap bagian untuk mendapatkan totalnya.
Temukan semua titik potong terlebih dahulu
- Selesaikan $f(x)=g(x)$ sepenuhnya — temukan semua titik persilangan pada interval tersebut, bukan hanya dua titik terluar.
- Persimpangan-persimpangan ini adalah batas dari sub-interval di mana urutan kurva tetap.
- Urutkan mereka dari kiri ke kanan sepanjang sumbu $x$.
- Setiap pasangan persilangan yang berdekatan membatasi satu bagian dari daerah tersebut.
Kubik yang memotong garis 3 kali
y = ax³ + bx
$y=x^3$ dan $y=x$ bersilangan di $-1,0,1$; kurva atas berganti di $0$, sehingga area membutuhkan dua bagian.
Di mana $y=x^3$ dan $y=x$ bersilangan?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
Titik-titik persimpangan membagi wilayah menjadi ____ di mana urutan tetap.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pada setiap subinterval satu kurva konsisten berada di atas.
Pecah di tempat atas dan bawah berganti
- Pada setiap sub-interval, satu kurva selalu berada di atas — uji satu titik untuk melihat mana yang menjadi kurva atas.
- Susun integral terpisah dari (atas $-$ dikurangi bawah) untuk setiap sub-interval, menggunakan kurva atas yang benar di sana.
- Karena kurva atas berganti antar bagian, fungsi integralnya berbeda dari satu bagian ke bagian lainnya.
- Total luas adalah jumlah dari integral-integral terpisah ini.
Anda membagi wilayah di setiap persimpangan karena...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di mana kurva bertukar, sebagian wilayah akan dihitung negatif.
Menggunakan satu integral dari $f-g$ melintasi semua persimpangan (kurva bertukar) menghasilkan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pembatalan tanda meremehkan area sebenarnya.
Jumlahkan luas mutlak
- Integral pada setiap sub-interval, dilakukan dengan aturan atas dikurangi bawah yang benar, akan bernilai positif.
- Jumlahkan semuanya: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- Atau setara, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — selisih mutlak yang diintegralkan.
- Kedua pendekatan memberikan total luas geometris yang sama.
Untuk $y=x^3$ dan $y=x$ pada $[-1,1]$, masing-masing bagian memiliki luas $\tfrac14$. Temukan total luas.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Mengintegrasikan $|f(x)-g(x)|$ sepanjang seluruh interval memberikan total luas yang sama dengan pembagian.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai mutlak menangani pergantian secara otomatis.
Jangan gunakan satu integral $f-g$ yang melintasi semua titik persilangan — di mana kurva berganti, sebagian daerah akan berkontribusi dengan nilai negatif dan meniadakan luas sebenarnya. Anda harus memecah di setiap titik potong dan menerapkan atas dikurangi bawah dengan benar pada setiap bagian (atau mengintegralkan $|f-g|$). Temukan semua titik persilangan, bukan hanya titik ujung.
Luas antara $y=x^3$ dan $y=x$ pada $[-1,1]$.
- Persimpangan: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — tiga titik.
- Pada $(-1,0)$: $x^3>x$ (uji $-0.5$). Pada $(0,1)$: $x>x^3$ (uji $0.5$). Kurva atas berganti di $0$.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Ketika kurva berpotongan lebih dari dua kali, temukan semua titik persilangan, pecah daerah menjadi sub-interval, dan integralkan atas dikurangi bawah pada masing-masing (kurva atas berganti di antaranya). Jumlahkan bagian-bagian tersebut — atau setara, integralkan $|f(x)-g(x)|$. Satu integral lurus dari $f-g$ akan salah karena meniadakan area.