Menemukan Luas Antara Kurva yang Dinyatakan sebagai Fungsi x
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | luas antara dua kurva |
Area yang terjebak di antara dua kurva
- Satu integral memberikan area antara kurva dan sumbu $x$. Bagaimana dengan area antara dua kurva?
- Iris wilayah menjadi strip vertikal tipis; tinggi setiap strip adalah celah antara kurva-kurva tersebut.
- Jumlahkan (integralkan) tinggi-tinggi tersebut melintasi interval — itu adalah area antara dua kurva.
- Resepnya adalah "atas dikurangi bawah, diintegralkan."
Atas dikurangi bawah
- Jika $f$ adalah kurva atas dan $g$ yang bawah pada $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Setiap strip vertikal memiliki tinggi $f(x)-g(x)$ dan lebar $dx$.
- Selalu kurangkan atas dikurangi bawah, agar tinggi (dan area) tetap positif.
Garis di atas parabola
y = ax² + bx + c
Antara titik potong garis berada di atas parabola — celah vertikal, yang diintegrasikan, adalah area yang tertutup.
Luas antara kurva atas $f$ dan kurva bawah $g$ pada $[a,b]$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Atas dikurangi bawah, diintegrasikan.
Temukan batas dari titik potong
- Batas $a$ dan $b$ biasanya adalah tempat kurva berpotongan — atur $f(x)=g(x)$ dan selesaikan.
- Nilai $x$ titik potong tersebut adalah tepi kiri dan kanan dari wilayah yang terkurung.
- Di antaranya, tentukan kurva mana yang berada di atas (uji sebuah titik).
- Kemudian integralkan selisih atas-dibawah selama $[a,b]$.
Di mana $y=x+2$ dan $y=x^2$ berpotongan?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
Untuk memutuskan kurva mana yang berada di atas antara titik potong, Anda...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Masukkan titik uji untuk melihat mana yang lebih tinggi.
Batas integrasi berasal dari menetapkan dua kurva ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Selesaikan $f(x)=g(x)$ untuk nilai persimpangan $x$.
Itu bekerja bahkan di bawah sumbu
- Karena Anda mengambil atas dikurangi bawah, rumus menangani wilayah di bawah sumbu $x$ secara otomatis.
- Istilah $-g(x)$ mengangkat semuanya, sehingga tidak perlu pencatatan "area bertanda" terpisah.
- Wilayah sepenuhnya di bawah sumbu masih memberikan area positif dengan atas-dibawah.
- Itulah keunggulan pendekatan tinggi celah.
Luas antara $y=x+2$ dan $y=x^2$ adalah $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. Hitunglah (desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Integral bernilai $\tfrac92=4.5$.
Mengintegrasikan bawah dikurangi atas menghasilkan negatif dari area sebenarnya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Membalik urutan akan membalik tanda.
Selalu kurangkan atas dikurangi bawah — jika Anda membaliknya, Anda akan mendapatkan negatif dari area yang sebenarnya. Periksa kurva mana yang berada di atas dengan menguji nilai $x$ di antara titik potong (mereka dapat bertukar, yang merupakan pelajaran berikutnya). Dan batasnya berasal dari menyamakan kurva, bukan dari sumbu $x$.
Temukan area antara $y=x+2$ dan $y=x^2$.
- Titik potong: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- Pada $(-1,2)$ garis berada di atas (uji $x=0$: garis $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
Luas antara dua kurva (fungsi dari $x$) adalah $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, dengan mengintegralkan atas dikurangi bawah melalui strip vertikal. Temukan $a,b$ di mana kurva-kurva berpotongan, tentukan mana yang berada di atas, lalu integralkan selisihnya. Aturan atas dikurangi bawah otomatis menjaga luas bernilai positif.