Menggunakan Fungsi Akumulasi dan Integral Tentu dalam Konteks Terapan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral tentu |
Mulai dari sini, tambahkan perubahan, sampai di sana
- Banyak masalah terapan memberikan laju dan jumlah awal, dan meminta total kemudian.
- Hubungan kunci: nilai akhir = nilai awal + perubahan terakumulasi.
- Perubahan terakumulasi adalah integral tentu dari laju selama interval tersebut.
- Satu ide ini mendorong tangki, populasi, akun, dan lain-lain.
Rumus akumulasi
- Jika $R(t)$ adalah laju dan $Q$ adalah kuantitas, maka:
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- Mulailah dengan $Q(a)$, tambahkan perubahan terakumulasi neto $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$, tiba di $Q(b)$.
- Ini adalah FTC dalam pakaian terapan: integral dari laju adalah perubahan neto dari kuantitasnya.
Aliran masuk yang terakumulasi adalah luas
y = 4t (laju aliran masuk)
Luas di bawah laju aliran masuk $R(t)$ adalah air yang ditambahkan; totalnya adalah jumlah awal ditambah luas tersebut.
Hubungan akumulasi terapan adalah: nilai akhir =...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Akhir = awal + perubahan terakumulasi.
Untuk menemukan jumlah akhir, tambahkan perubahan terakumulasi ke nilai ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Akhir = awal + integral dari laju.
Membaca konteks dan satuan
- Integral tentu dari laju memiliki satuan (satuan laju)$\times$(waktu) = satuan kuantitas.
- $\int$ dari litre/menit selama menit memberikan litre; $\int$ dari orang/tahun selama tahun memberikan orang.
- Tanda itu penting: laju negatif (menguras, mendinginkan) mengurangi total.
- Selalu interpretasikan integral dalam kata-kata dan satuan sendiri dari masalah.
Sebuah tangki berisi $50$ L; air mengalir masuk dengan laju $R(t)=4t$ selama $0\le t\le 3$ ($\int_0^3 4t\,dt=18$). Temukan total volume pada waktu $t=3$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$50+18=68$ L.
Jika $R$ dalam liter/menit dan $t$ dalam menit, $\int R\,dt$ memiliki satuan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(liter/menit)×(menit) = liter.
Perubahan neto vs. kotor
- Integral $\int_a^b R\,dt$ adalah perubahan neto — aliran masuk dikurangi aliran keluar.
- Jika tangki diisi dan dikuras, integral neto memperhitungkan keduanya secara otomatis.
- Untuk menemukan total ditambah atau total dibuang secara terpisah, integralkan hanya bagian positif atau negatif.
- Tapi "akhir = awal + perubahan terakumulasi neto" selalu menggunakan integral bertanda biasa.
Integral tentu dari laju memberikan perubahan, bukan total akhir secara langsung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda harus menambahkan nilai awal.
Untuk laju aliran keluar (pengurasan), integral atas interval tersebut adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju aliran keluar negatif → mengurangi.
Jangan laporkan integral saja sebagai jumlah akhir — itu hanyalah perubahan. Anda harus menambahkan nilai awal: akhir $=$ awal $+\int_a^b R\,dt$. Dan tetap pertahankan tanda laju: laju aliran keluar adalah negatif, jadi integralnya benar-benar mengurangi total awal.
Sebuah tangki berisi $50$ L pada $t=0$. Air mengalir masuk pada $R(t)=4t$ L/min selama $0\le t\le 3$. Berapa banyak pada $t=3$?
- Perubahan terakumulasi: $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ L.
- Akhir $=$ awal $+$ perubahan $=50+18=68$ L.
- (Integral $18$ adalah air yang ditambahkan; $68$ adalah total.)
Dalam konteks terapan, nilai akhir = nilai awal + perubahan terakumulasi, di mana perubahan adalah integral tentu dari laju: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$. Integral membawa satuan kuantitas dan tandanya (aliran masuk menambah, aliran keluar mengurangi). Jangan pernah lupa menambahkan nilai awal.