Model Logistik dengan Persamaan Diferensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| logistic/ləˈdʒɪstɪk/ | logistik |
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | kapasitas dukung |
Pertumbuhan yang menyentuh langit-langit
- Pertumbuhan eksponensial murni naik selamanya — tidak realistis untuk populasi nyata dengan sumber daya terbatas.
- Model logistik memperbaiki hal ini: pertumbuhan yang melambat saat mendekati maksimum.
- Dimulai hampir eksponensial, kemudian mendatar menuju kapasitas tampung $L$.
- Ini adalah model standar untuk pertumbuhan terbatas.
Persamaan diferensial logistik
-
$$\dfrac{dP}{dt}=kP\Big(1-\dfrac{P}{L}\Big)$$
- Bagian $kP$ menunjukkan pertumbuhan mirip eksponensial; faktor $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ memperlambatnya saat $P$ mendekati $L$.
- Saat $P$ kecil, $1-\tfrac{P}{L}\approx1$: hampir eksponensial. Saat $P\approx L$, faktor $\to0$: pertumbuhan berhenti.
- $L$ adalah kapasitas tampung — langit-langit populasi.
Persamaan diferensial logistik adalah $\dfrac{dP}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Faktor pengereman $(1-P/L)$ memperlambat pertumbuhan dekat $L$.
Nilai maksimum berkelanjutan $L$ yang $P$ mendekati adalah kapasitas ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kapasitas dukung adalah batas atas.
Perilaku jangka panjang
- Seiring waktu $t\to\infty$, $P$ mendekati kapasitas tampung $L$ (untuk $0<P_0<L$).
- $P=L$ adalah ekuilibrium stabil; $P=0$ adalah ekuilibrium tidak stabil.
- Di bawah $L$ populasi naik menuju $L$; di atas $L$ turun kembali ke $L$.
- Jadi $L$ adalah nilai yang ditargetkan model, terlepas dari awal (positif) apa pun.
Kurva logistik berbentuk S
y = a·tanh(bx) + d (bentuk S)
Kurva logistik naik cepat di tengah dan mendatar menuju kapasitas dukung $L$ — paling curam di $P=L/2$.
Untuk $\dfrac{dP}{dt}=0.1P(1-\tfrac{P}{2000})$, berapakah kapasitas dukung $L$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$L=2000$, batas jangka panjang.
Saat $t\to\infty$ (dengan $0<P_0<L$), populasi $P$ mendekati...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$P\to L$ dari bawah.
Pertumbuhan tercepat di setengah kapasitas
- Populasi tumbuh paling cepat ketika $P=\dfrac{L}{2}$ — titik tengah kurva S.
- Di sana kurva logistik memiliki titik belok: percepatan pertumbuhan di bawah $L/2$, perlambatan di atas.
- Sebelum $L/2$ laju meningkat; setelahnya, melandai menuju nol.
- Puncak kapasitas setengah ini adalah fakta ujian yang disukai.
Untuk model yang sama ($L=2000$), pada populasi berapa pertumbuhan tercepat?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tercepat di $P=L/2=1000$.
Pertumbuhan tercepat tepat di kapasitas dukung $P=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di $P=L$ pertumbuhan berhenti; laju tercepat ada di $P=L/2$.
Kapasitas daya dukung $L$ adalah tempat pertumbuhan berhenti ($\frac{dP}{dt}=0$ karena faktor $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ menjadi $0$), bukan di mana pertumbuhan tercepat. Laju maksimum ada di $P=\tfrac{L}{2}$. Jangan tertukar keduanya: $L$ adalah batas atas yang didekati populasi; $\tfrac L2$ adalah tempat populasi naik paling cepat.
Populasi ikan mematuhi $\dfrac{dP}{dt}=0.1P\big(1-\tfrac{P}{2000}\big)$.
- Kapasitas daya dukung: $L=2000$ ikan — batas jangka panjang.
- Pertumbuhan tercepat pada $P=\tfrac{L}{2}=1000$ ikan.
- Saat mendekati $t\to\infty$, $P\to 2000$ dari bawah (jika dimulai di bawah $2000$).
Model logistik $\frac{dP}{dt}=kP\big(1-\frac{P}{L}\big)$ menggambarkan pertumbuhan yang dibatasi oleh kapasitas daya dukung $L$: hampir eksponensial saat kecil, melandai menuju $L$ saat $t\to\infty$. Pertumbuhan tercepat pada $P=\tfrac L2$ (titik belok), dan berhenti di $P=L$.