Menemukan Nilai Rata-rata Fungsi pada Selang
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ | nilai rata-rata |
Tinggi rata-rata kurva
- Anda bisa meratakan daftar angka — tetapi bagaimana cara meratakan fungsi, yang memiliki tak hingga banyak nilai?
- Integrasi melakukannya: nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah akumulasi totalnya dibagi lebar.
- Bayangkan area di bawah kurva yang dibentuk ulang menjadi persegi panjang dengan lebar yang sama — tingginya adalah rata-ratanya.
- Ini adalah versi kalkulus dari "jumlahkan lalu bagi dengan berapa banyak."
Rumus
- Nilai rata-rata $f$ pada $[a,b]$ adalah
-
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
- Hitung integral tentu (totalnya), lalu bagi dengan panjang interval $b-a$.
- Satuan: sama dengan $f$ itu sendiri (ini adalah tinggi rata-rata, bukan area).
Persegi panjang berluas sama
y = x²
Nilai rata-rata adalah tinggi konstan yang persegi panjangnya menutupi area yang sama dengan kurva atas $[a,b]$.
Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Total dibagi lebar.
Nilai rata-rata memiliki satuan yang sama dengan fungsi $f$, bukan satuan luas.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah tinggi rata-rata, bukan luas.
Itu adalah tinggi "menyejajarkan"
- Nilai rata-rata adalah tinggi konstan yang memberikan area yang sama atas $[a,b]$.
- $\displaystyle\int_a^b f_{\text{avg}}\,dx = f_{\text{avg}}(b-a)=\int_a^b f\,dx$ — persegi panjang dan daerah sesuai.
- Jadi $f_{\text{avg}}$ adalah tempat Anda akan "menyejajarkan" kurva untuk mempertahankan total akumulasi yang sama.
- (Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral menjamin bahwa $f$ benar-benar mencapai nilai rata-rata ini di suatu tempat jika $f$ kontinu.)
Temukan nilai rata-rata $f(x)=x^2$ pada $[0,3]$. ($\int_0^3 x^2\,dx=9$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
Secara geometris, nilai rata-rata adalah tinggi persegi panjang (lebar $b-a$) dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tinggi persegi panjang berluas sama adalah nilai rata-rata.
Rata-rata dalam konteks
- Kecepatan rata-rata selama $[a,b]$ = $\frac{1}{b-a}\int_a^b v(t)\,dt$ = perpindahan ÷ waktu.
- Suhu rata-rata, laju rata-rata, konsentrasi rata-rata — semua resep yang sama.
- Baca satuan untuk menafsirkannya: rata-rata dari laju masih merupakan laju.
- Ini menjawab "nilai stabil tunggal apa yang akan menghasilkan total yang sama?"
Integral tentu $\int_a^b f\,dx$ secara langsung adalah nilai rata-rata dari $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah total; bagi dengan $b-a$ untuk mendapatkan nilai rata-rata.
Perpindahan mobil selama $[0,2]$ jam adalah $\int_0^2 v\,dt=120$ km. Temukan kecepatan rata-ratanya (km/jam).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{120}{2}=60$ km/jam.
Nilai rata-rata dibagi dengan $b-a$ — jangan tertukar dengan integral tentu saja (itu adalah total, sebuah luas). $\int_a^b f\,dx$ adalah jumlah terkumpul; $\frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$ adalah tinggi rata-rata. Melupakan $\frac{1}{b-a}$ adalah kesalahan klasik.
Temukan nilai rata-rata dari $f(x)=x^2$ pada $[0,3]$.
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9$.
- Bagi dengan lebar: $f_{\text{avg}}=\dfrac{1}{3-0}\cdot 9 = 3$.
- Jadi tinggi konstan $3$ akan membungkus area yang sama selama $[0,3]$.
Nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ — total (sebuah integral tentu) dibagi lebar interval. Ini adalah tinggi konstan yang membungkus area yang sama, dengan satuan yang sama seperti $f$. Jangan pernah membuang $\frac{1}{b-a}$.