Menemukan Solusi Umum Menggunakan Pemisahan Variabel
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | dapat dipisahkan |
Dapatkan $x$'s dan $y$'s di sisi yang berlawanan
- Untuk benar-benar memecahkan persamaan diferensial (bukan sekadar menggambarnya), kita mengintegralkan — tetapi pertama-tama kita mengurutkan variabelnya.
- Persamaan diferials adalah terpisah jika Anda dapat menuliskannya sehingga satu sisi hanya berisi $y$ dan sisi lainnya hanya $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ adalah bentuk penanda: perkalian bagian $x$ dan bagian $y$.
- Kemudian setiap sisi dapat diintegralkan secara terpisah.
Persamaan mana yang dapat dipisahkan?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy$ difaktorkan sebagai (bagian ⟨$x$⟩)$\times$(bagian ⟨$y$⟩); penjumlahan tidak bisa.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ tidak dapat dipisahkan karena Anda tidak dapat memecah ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pemisahan memerlukan perkalian, bukan penjumlahan.
Pisahkan variabelnya
- Anggap $\dfrac{dy}{dx}$ sebagai rasio diferensial dan pindahkan setiap variabel ke sisinya masing-masing.
- Dari $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: bagi dengan $h(y)$ dan kalikan dengan $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Sekarang setiap sisi hanya melibatkan satu variabel dan diferensialnya — siap untuk diintegralkan.
Memisahkan $\dfrac{dy}{dx}=xy$ menghasilkan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Bagi dengan $y$, kalikan dengan $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Integralkan kedua sisi
- Integralkan kiri dalam $y$ dan kanan dalam $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Tambahkan satu konstanta $+C$ (satu sudah cukup — gabungkan konstanta dari kedua sisi).
- Kemudian selesaikan untuk $y$ jika memungkinkan, untuk mendapatkan solusi umum.
- Hasilnya adalah keluarga fungsi dengan konstanta $C$.
Solusi umum adalah sebuah keluarga
Menyelesaikan $\tfrac{dy}{dx}=ay$ menghasilkan $y=Ce^{ax}$ — satu kurva per konstanta, semua sesuai dengan bidang yang sama.
Mengintegralkan $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ menghasilkan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; tambahkan $+C$.
Pertahankan $+C$ (dan selesaikan untuk $y$)
- Konstanta integrasi adalah yang membuat ini menjadi keluarga — jangan pernah menghilangkannya.
- Seringkali Anda akan melakukan eksponensiasi atau menyusun ulang untuk mengisolasi $y$; $C$ berubah tetapi tetap ada.
- Meninggalkan jawaban sebagai relasi implisit adalah baik jika $y$ tidak dapat diisolasi dengan bersih.
- Kondisi awal kemudian (pelajaran 7.7) akan menetapkan $C$.
Anda harus menyertakan konstanta $+C$ ketika menyelesaikan persamaan diferensial dengan pemisahan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$+C$ memberikan solusi umum (keluarga dari) solusi.
Solusi umum dari $\dfrac{dy}{dx}=xy$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Eksponensiasikan $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$ untuk mendapatkan $y=A e^{x^2/2}$.
Pemisahan berfungsi hanya jika persamaan difaktorkan sebagai (fungsi dari $x$) $\times$ (fungsi dari $y$). Sesuatu seperti $\frac{dy}{dx}=x+y$ adalah tidak terpisahkan — Anda tidak dapat memecah jumlah. Dan jangan lupa $+C$ setelah mengintegralkan: tanpanya Anda hanya memiliki satu kurva, bukan keluarga umum.
Selesaikan $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (solusi umum).
- Pisahkan: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Integralkan: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Eksponensiasi: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (menulis $A=e^C$). Solusi umum: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Pemisahan variabel menyelesaikan persamaan terpisah $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: atur ulang menjadi $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, integralkan kedua sisi (satu $+C$), dan selesaikan untuk $y$ untuk mendapatkan solusi umum. Ini hanya bekerja ketika persamaan difaktorkan menjadi bagian $x$ dikalikan bagian $y$.