Menemukan Solusi Partikular Menggunakan Kondisi Awal dan Pemisahan Variabel
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | kondisi awal |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solusi khusus |
Memastikan satu kurva yang benar
- Solusi umum adalah keluarga dengan konstanta $C$. Realitas menginginkan satu kurva.
- Kondisi awal — titik yang diketahui $\big(x_0,y_0\big)$ — memilih anggota tunggal tersebut.
- Selesaikan persamaan secara umum, lalu gunakan titik untuk menemukan $C$.
- Hasilnya adalah solusi khusus untuk situasi tersebut.
Kurva tunggal yang dipilih oleh kondisi awal adalah solusi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Satu anggota dari keluarga umum.
Prosedur lengkap
- 1. Pisahkan variabel dan integralkan kedua sisi (dengan $+C$) — solusi umum.
- 2. Substitusikan kondisi awal $\big(x_0,y_0\big)$ untuk menyelesaikan $C$.
- 3. Masukkan kembali $C$ tersebut dan sederhanakan.
- 4. Jika diminta, selesaikan secara eksplisit untuk $y$.
Titik awal memilih satu kurva
Solusi umum adalah seluruh keluarga; kondisi awal $y(x_0)=y_0$ memilih kurva tunggal melalui titik itu.
Anda menerapkan kondisi awal untuk menemukan $C$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Dapatkan solusi umum terlebih dahulu, lalu gunakan titik untuk $C$.
Urutkan langkah-langkah untuk solusi partikular.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Pisahkan, integralkan, terapkan titik, sederhanakan.
Contoh penyelesaian khusus yang dikerjakan
- Selesaikan $\dfrac{dy}{dx}=xy$ dengan $y(0)=3$.
- Solusi umum (dari pelajaran terakhir): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- Terapkan titik: $3 = A\,e^{0}=A$, jadi $A=3$.
- Solusi khusus: $y=3\,e^{x^2/2}$.
Untuk $y=x^2+C$ dengan $y(1)=5$, temukan $C$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
Solusi partikular adalah $y=x^2+4$. Temukan $y(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3^2+4=13$.
Untuk $\dfrac{dy}{dx}=xy$ dengan $y(0)=3$ ($y=Ae^{x^2/2}$ umum), solusi partikular adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y(0)=A=3$, sehingga $y=3e^{x^2/2}$.
Perhatikan domain
- Memecahkan untuk $y$ mungkin melibatkan $\ln$, akar, atau resiprokal — perhatikan di mana solusi valid.
- Solusi khusus biasanya hidup pada interval yang mengandung $x_0$, tidak harus semua real $x$.
- Tanda atau nilai mutlak mungkin perlu diselesaikan menggunakan titik yang diberikan (mis. $y_0>0$ memilih cabang $+$).
- Nyatakan domain ketika aljabar membatasinya.
Terapkan kondisi awal setelah mengintegralkan, untuk menemukan $C$ — bukan sebelum. Dan gunakan titik tersebut untuk menyelesaikan ambiguitas tanda/cabang: jika $\ln|y|=\dots$ dan $y_0>0$, hilangkan nilai mutlak sebagai $y>0$. Menyubstitusikan titik terlalu dini (seperti dalam peringatan pemisahan variabel) akan menghilangkan keluarga umum.
Selesaikan $\dfrac{dy}{dx}=2x$ dengan $y(1)=5$.
- Solusi umum: $y=x^2+C$.
- Terapkan $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- Solusi khusus: $y=x^2+4$.
Solusi khusus adalah satu anggota dari keluarga umum yang ditentukan oleh kondisi awal. Selesaikan secara umum (integralkan, simpan $+C$), substitusikan titik $\big(x_0,y_0\big)$ untuk menemukan $C$, dan sederhanakan. Gunakan titik tersebut untuk menetapkan tanda/cabang dan catat domain yang valid.