Pendekatan Solusi Menggunakan Metode Euler
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | metode Euler |
| step size/step saɪz/ | ukuran langkah |
Menyelesaikan solusi selangkah demi selangkah
- Tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan dengan rumus — tetapi Anda tetap dapat mendekati solusinya secara numerik.
- Metode Euler mengikuti bidang kemiringan dalam langkah lurus kecil dari titik awal.
- Di setiap titik, gunakan persamaan diferensial untuk mendapatkan kemiringan, lalu melangkah maju sepanjang itu.
- Ulangi, dan Anda akan menelusuri kurva solusi perkiraan.
Aturan pembaruan
- Diberikan $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ dan awal $(x_0,y_0)$, ambil ukuran langkah tetap $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- Nilai $y$ baru = nilai lama $y$ + (kemiringan di sana) × (langkah $h$).
- Ini berarti "nilai saat ini ditambah kemiringan dikali langkah" — lompatan garis singgung.
Melangkah sepanjang bidang kemiringan
Metode Euler mengambil langkah lurus pendek sepanjang bidang kemiringan — langkah yang lebih kecil mengikuti kurva sebenarnya lebih baik.
Aturan pembaruan Euler adalah $y_{n+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai lama $y$ ditambah kemiringan dikali langkah.
Inkremen tetap $h$ yang digunakan di setiap langkah Euler disebut ukuran ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x$ maju sebesar ukuran langkah $h$ setiap iterasi.
Melangkah melalui tabel
- Atur pekerjaan dalam tabel: di setiap baris, baca $(x_n,y_n)$, hitung kemiringan $f(x_n,y_n)$, lalu dapatkan $y_{n+1}$.
- Majukan $x$ sebesar $h$ di setiap baris dan ulangi hingga mencapai target $x$.
- Setiap langkah hanyalah aritmatika; persamaan diferensial menyediakan kemiringan.
- Setelah beberapa baris Anda memiliki estimasi $y$ pada target.
Untuk $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: kemiringan di $(0,1)$ adalah $1$. Temukan $y_1$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1+0.5(1)=1.5$.
Melanjutkan ($y_1=1.5$ di $x=0.5$, kemiringan $=2$), temukan $y(1)\approx y_2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1.5+0.5(2)=2.5$.
Akurasi dan ukuran langkah
- Metode Euler hanyalah pendekatan — ia mengikuti garis singgung lurus, sehingga menyimpang dari kurva sebenarnya.
- Ukuran langkah yang lebih kecil $h$ memberikan estimasi yang lebih akurat (tetapi lebih banyak langkah).
- Pada kurva cekung ke atas Euler cenderung meremehkan; cekung ke bawah, melebih-lebihkan.
- Lebih banyak langkah, kesalahan lebih sedikit — kompromi akurasi klasik.
Menggunakan ukuran langkah yang lebih kecil $h$ umumnya membuat estimasi Euler...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Langkah yang lebih kecil menyimpang lebih sedikit dari kurva sebenarnya.
Anda harus menghitung ulang kemiringan di setiap titik baru, bukan menggunakan kembali kemiringan awal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kemiringan $f(x_n,y_n)$ berubah setiap langkah.
Gunakan kemiringan di titik saat ini $(x_n,y_n)$ untuk setiap langkah, bukan kemiringan tetap. Dan setiap langkah memperbarui keduanya $x$ (sebesar $h$) dan $y$ (sebesar $h\cdot f$). Kesalahan umum adalah menggunakan kemiringan awal untuk setiap langkah — kemiringan harus dihitung ulang di setiap titik baru.
Perkirakan $y(1)$ untuk $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, dengan langkah $h=0.5$.
- Langkah 1: kemiringan di $(0,1)$ adalah $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Langkah 2: kemiringan di $(0.5,1.5)$ adalah $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- Maka $y(1)\approx 2.5$.
Metode Euler mengaproksimasi solusi persamaan diferensial dengan melangkah sepanjang garis singgung: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ dengan ukuran langkah tetap $h$, menghitung ulang kemiringan di setiap titik. Ini bersifat pendekatan (langkah lurus menyimpang dari kurva); $h$ yang lebih kecil meningkatkan akurasi.