Mengecek Solusi untuk Persamaan Diferensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | Solusi |
Apakah fungsi ini benar-benar sebuah solusi?
- Sebelum menyelesaikan persamaan diferensial, Anda harus mampu memeriksa usulan jawaban.
- Solusi dari persamaan diferensial adalah sebuah fungsi yang membuat persamaan tersebut menjadi benar.
- Tesnya bersifat mekanis semata: turunkan kandidat tersebut lalu substitusikan.
- Jika kedua ruas cocok untuk semua $x$, maka itu adalah solusi; jika tidak, maka bukan.
Resep verifikasi
- 1. Ambil fungsi kandidat dan hitung turunannya (atau turunannya).
- 2. Substitusikan fungsi dan turunannya ke dalam persamaan diferensial.
- 3. Sederhanakan kedua ruas dan pastikan mereka sama (sebagai identitas dalam $x$).
- Tidak perlu integrasi—memverifikasi hanyalah menurunkannya dan memasukkannya kembali.
Untuk memverifikasi kandidat solusi, Anda...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan kandidat tersebut, substitusikan, periksa apakah kedua sisi cocok.
Contoh pemeriksaan terpecahkan
- Apakah $y=e^{3x}$ menyelesaikan $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Belakan: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitusikan ke ruas kanan: $3y=3e^{3x}$.
- Kiri $=$ kanan ($3e^{3x}=3e^{3x}$), jadi ya, $y=e^{3x}$ adalah solusi. ✓
Solusi dy/dx = ky
Setiap eksponen $y=Ce^{kx}$ menembus medan kemiringan — memverifikasi satu hanyalah mengonfirmasi bahwa turunannya cocok dengan $ky$.
$y=e^{3x}$ adalah solusi dari $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Kedua sisi harus sama untuk ____ nilai dari $x$, bukan hanya satu, untuk mengkonfirmasi solusi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Solusi memenuhi persamaan secara identik.
Solusi umum vs. khusus
- $y=Ce^{3x}$ (dengan konstanta apa pun $C$) juga menyelesaikan $\dfrac{dy}{dx}=3y$—seluruh keluarga adalah solusi umum.
- Pilih $C$ spesifik tertentu dan Anda akan mendapatkan solusi khusus.
- Memverifikasi bekerja sama untuk keduanya: turunkan dan periksa apakah persamaan terpenuhi.
- Konstanta tetap ada saat penurunan, sehingga pengecekan tetap seimbang.
Mengeverifikasi solusi yang diberikan memerlukan mengintegrasikan persamaan diferensial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Verifikasi adalah menurunkan dan mensubstitusikan; tidak perlu integrasi.
Untuk konstanta mana $C$ $y=Ce^{3x}$ menyelesaikan $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ untuk semua $C$ — solusi umum.
Apakah $y=x^2+C$ adalah solusi dari $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{dy}{dx}=2x$ terlepas dari $C$.
Memverifikasi bukan menyelesaikan—Anda hanya memeriksa kandidat yang diberikan, jadi tidak ada integrasi yang terlibat. Substitusikan fungsi dan turunannya ke dalam persamaan dan konfirmasi bahwa kedua ruas identik untuk semua $x$, bukan hanya di satu titik. Kecocokan di satu titik $x$ saja tidak cukup.
Verifikasikan bahwa $y=x^2+C$ menyelesaikan $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Turunkan: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (konstanta $+C$ hilang).
- Persamaan diferensial menyatakan $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Kedua ruas sama dengan $2x$, jadi $y=x^2+C$ adalah solusi untuk setiap konstanta $C$. ✓
Untuk memverifikasi solusi persamaan diferensial, turunkan kandidatnya dan substitusikan (bersama turunannya) ke dalam persamaan; ia adalah solusi jika dan hanya jika kedua ruas sama untuk semua $x$. Tidak diperlukan integrasi—memverifikasi adalah menurunkan dan mengecek. Keluarga dengan konstanta $C$ adalah solusi umum.