Menggambar Medan Kemiringan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| slope field/sləʊp fiːld/ | bidang kemiringan |
Peta kemiringan melintasi bidang
- Sebuah persamaan diferensial $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ memberikan kemiringan di setiap titik.
- Gambar segmen pendek dengan kemiringan tersebut di setiap titik grid, dan Anda akan mendapatkan bidang kemiringan.
- Ini adalah "peta" yang menunjukkan arah mana kurva solusi harus bergerak di mana-mana.
- Anda tidak perlu menyelesaikan persamaan untuk menggambarnya—cukup evaluasi kemiringannya.
Medan kemiringan untuk dy/dx = ay
Setiap tanda miring memiliki kemiringan $\tfrac{dy}{dx}$ pada titiknya — datar dekat $y=0$ dan lebih curam menjauh untuk $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
Medan kemiringan menunjukkan, pada setiap titik, bahwa...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Setiap tanda miring adalah arah tangen di sana.
Untuk menggambar bidang kemiringan, Anda hanya menghitung kemiringan — Anda tidak ____ perlu menyelesaikan persamaan.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Persamaan memberikan kemiringan secara langsung.
Hitung kemiringan di setiap titik
- Di titik grid $(x,y)$, masukkan ke $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ untuk mendapatkan angka—itu adalah kemiringan segmennya.
- Kemiringan $0$ → garis horizontal; positif besar → garis naik curam; negatif → menurun.
- Ulangi di atas kisi-kisi titik untuk mengisi bidang.
- Persamaan memberi tahu Anda kemiringan secara langsung; tidak perlu antiturunan.
Untuk $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, temukan kemiringan tanda miring pada titik $(2,3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2+3=5$.
Untuk $\dfrac{dy}{dx}=xy$, kemiringan di $(3,2)$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$xy=3\cdot2=6$ (gunakan kedua koordinat).
Mengidentifikasi pola dengan cepat
- Jika $F$ hanya bergantung pada $x$: kemiringannya sama sepanjang garis vertikal (kolom terlihat identik).
- Jika $F$ hanya bergantung pada $y$: kemiringannya sama sepanjang garis horizontal (baris terlihat identik).
- Untuk $\dfrac{dy}{dx}=y$: kemiringan bertambah seiring ketinggian—datar dekat $y=0$, curam menjauh.
- Mengenali pola-pola ini mempercepat penggambaran secara signifikan.
Jika $\dfrac{dy}{dx}$ hanya bergantung pada $x$, garis-garis dalam setiap kolom vertikal akan sejajar.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x$ yang sama → kemiringan turun ke bawah kolom yang sama.
Garis kesetimbangan
- Di mana $F(x,y)=0$, kemiringannya $0$—deretan (atau kurva) garis horizontal.
- Untuk $\dfrac{dy}{dx}=y$, hal itu terjadi di $y=0$: seluruh garis horizontal dari segmen datar.
- Garis-garis ini sering menandai perilaku kesetimbangan—solusi dapat mendatar di sana.
- Mereka adalah titik-titik termudah untuk digambar, jadi mulailah dari mereka.
Untuk $\dfrac{dy}{dx}=y$, tanda-tanda miring horizontal sepanjang garis...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kemiringan $=y=0$ sepanjang $y=0$.
Bidang kemiringan menunjukkan kemiringan persamaan diferensial, bukan kurva solusinya sendiri. Segmen-segmen kecil itu adalah arah tangen; solusi adalah kurva yang tetap bersinggungan dengannya. Dan hitunglah kemiringan menggunakan $(x,y)$ titik tersebut, gunakan $y$ juga ketika $F$ bergantung padanya—bukan hanya $x$.
Gambar beberapa kemiringan untuk $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- Di $(1,0)$: kemiringan $=1$. Di $(2,5)$: kemiringan $=2$. Di $(-1,3)$: kemiringan $=-1$.
- Karena $F=x$ (tidak ada $y$), setiap titik dalam kolom vertikal memiliki kemiringan yang sama.
- Kolom garis sejajar: datar di $x=0$, miring lebih banyak saat $|x|$ bertambah.
Sebuah bidang kemiringan menggambar segmen pendek dengan kemiringan $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ di setiap titik grid—peta arah tangen, tanpa perlu menyelesaikan. Hitung kemiringan di setiap $(x,y)$; cari polanya (kolom cocok jika $F$ hanya bergantung pada $x$, baris jika hanya pada $y$) dan garis horizontal di mana $F=0$.