Memodelkan Situasi dengan Persamaan Diferensial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | persamaan diferensial |
Persamaan yang menggambarkan perubahan itu sendiri
- Banyak hukum nyata tidak mendeskripsikan suatu kuantitas, melainkan seberapa cepat ia berubah.
- Persamaan diferensial menghubungkan suatu fungsi dengan turunannya.
- "Populasi tumbuh pada laju yang sebanding dengan ukurannya" menjadi $\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- Menyelesaikannya memulihkan fungsi tersebut; unit ini membahas penulisan dan penyelesaian persamaan semacam itu.
Medan kemiringan persamaan laju
Persamaan $\tfrac{dy}{dt}=ky$ menyatakan bahwa lajunya sebanding dengan $y$ — medan kemiringannya menunjukkan pertumbuhan yang dimodelkannya.
Persamaan diferensial menghubungkan suatu fungsi dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini melibatkan fungsi dan turunannya.
Menerjemahkan kata-kata menjadi persamaan laju
- Frasa "laju perubahan dari $y$" adalah $\dfrac{dy}{dt}$—sisi kiri persamaan Anda.
- "sebanding dengan $y$" → $ky$; "sebanding dengan selisih dari $M$" → $k(M-y)$.
- Cocokkan deskripsi bahasa Inggris dari laju dengan ekspresi dalam $y$ (dan mungkin $t$).
- Keseluruhan modelnya adalah: (laju perubahan) = (ekspresi tersebut).
"Laju perubahan $y$ sebanding dengan $y$" berubah menjadi...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju perubahan $\frac{dy}{dt}$ = $k$ dikali $y$.
Air mengalir keluar dengan laju sebanding dengan jumlah $W$. Modelnya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pengaliran berarti penurunan → laju negatif: $-kW$.
Frasa pemodelan umum
- Sebanding dengan jumlah: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — pertumbuhan/peluruhan eksponensial.
- Sebanding dengan jumlah yang ada dan tersisa: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — tipe logistik.
- Laju konstan: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- Membaca frasa memberi tahu Anda sisi kanan.
Cocokkan setiap frasa dengan ekspresi lajunya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Baca frasa tersebut untuk membangun sisi kanan.
Persamaan diferensial memiliki keluarga solusi
- Berbeda dengan persamaan aljabar (satu angka tak diketahui), persamaan diferensial memiliki fungsi tak diketahui.
- Solusinya biasanya merupakan keluarga fungsi (dengan konstanta), bukan satu jawaban tunggal.
- Anggota spesifik ditentukan kemudian oleh kondisi awal (pelajaran 7.7).
- Untuk saat ini, tujuannya hanyalah untuk menulis persamaan dari situasi tersebut.
$y=kt$ (tanpa turunan) adalah persamaan diferensial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Persamaan diferensial harus melibatkan turunan.
Solusi persamaan diferensial biasanya berupa ____ dari fungsi-fungsi, bukan satu fungsi tunggal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sebuah konstanta tetap ada hingga kondisi awal menentukannya.
Persamaan diferensial melibatkan turunan—ini adalah pernyataan tentang laju, bukan kuantitas itu sendiri. "$y$ sebanding dengan $t$" ($y=kt$) bukan persamaan diferensial; "laju perubahan dari $y$ sebanding dengan $y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) iya. Cari bahasa "laju perubahan".
"Air tangki mengalir keluar dengan laju sebanding dengan jumlah air $W$." Tulis modelnya.
- Laju perubahan $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- Sebanding dengan $W$, dan mengalir keluar (menurun) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (dengan $k>0$).
- Tanda negatif mengindikasikan bahwa air sedang berkurang.
Sebuah persamaan diferensial menghubungkan suatu fungsi dengan turunannya—ini memodelkan laju perubahan. Terjemahkan kata-kata: "laju perubahan $y$" adalah $\frac{dy}{dt}$, "berbanding lurus dengan $y$" adalah $ky$, dan seterusnya. Solusinya berupa keluarga fungsi, yang kemudian ditentukan oleh kondisi awal.