Menyelesaikan Masalah Optimasi
DiperkenalkanDari penyusunan menuju angka pemenang
- Anda telah mengurangi masalah menjadi satu variabel. Sekarang selesaikan optimisasinya.
- Rencananya: turunkan fungsi tujuan, cari titik kritis, dan konfirmasi mana yang merupakan maksimum atau minimum.
- Kemudian jawab pertanyaan sebenarnya — seringkali dimensi atau nilai optimal, beserta satuannya.
- Ini adalah mesin ekstrem dari unit ini, diterapkan pada sebuah cerita.
Langkah-langkah penyelesaian
- 1. Turunkan fungsi tujuan satu variabel dan samakan dengan nol untuk mencari titik kritis.
- 2. Konfirmasi max vs. min dengan uji turunan pertama atau turunan kedua.
- 3. Periksa titik akhir domain juga, jika domain tertutup atau terbatas.
- 4. Jawab pertanyaan yang diajukan — masukkan kembali variabel optimal.
Luas memiliki satu puncak tunggal
y = ax² + bx
Parabola luas terbuka ke bawah dengan satu puncak — turunan nol di titik puncak, yaitu maksimum.
Untuk $A(x)=40x-2x^2$, selesaikan $A'(x)=40-4x=0$ untuk menemukan $x$ kritis.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$40-4x=0\Rightarrow x=10$.
Urutkan langkah-langkah penyelesaian optimasi.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan, temukan, konfirmasikan, jawab.
Konfirmasi, jangan asumsikan
- Titik kritis hanyalah kandidat — Anda harus menunjukkan bahwa itu adalah maksimum (atau minimum) yang Anda inginkan.
- Uji Turunan Kedua: jika $A''(x)<0$ pada titik kritis, maka itu adalah maksimum.
- Atau periksa tanda $A'$ di sekitarnya, atau bandingkan dengan titik akhir domain.
- Melewatkan konfirmasi adalah kesalahan umum kehilangan poin; AP mengharapkan justifikasi.
Karena $A''(x)=-4<0$, titik kritis adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cekung ke bawah ⇒ maksimum.
Anda harus memvalidasi bahwa titik kritis benar-benar merupakan maksimum, bukan sekadar mengasumsikannya.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Uji turunan atau pemeriksaan titik akhir diharapkan dilakukan.
Jawab pertanyaan yang sebenarnya
- Jika diminta luas maksimum, laporkan nilai luasnya; jika diminta dimensi, laporkan panjang-sisinya.
- Sertakan satuan dan pastikan jawabannya masuk akal secara fisik.
- Baca ulang instruksi — "apa dimensinya?" dan "apa luas terbesarnya?" meminta angka akhir yang berbeda.
- Angka tanpa label yang tepat akan kehilangan poin.
Dengan $x=10$ dan $A(x)=40x-2x^2$, temukan luas maksimum.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$A(10)=400-200=200$.
Jika soal meminta dimensi, Anda harus melaporkan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laporkan apa yang diminta — dimensi, bukan luas, di sini.
Dua kesalahan umum: (1) melaporkan nilai $x$-titik kritis ketika soal menginginkan kuantitas yang dioptimalkan (atau sebaliknya) — bacalah kembali apa yang ditanyakan. (2) Melewatkan justifikasi bahwa titik kritis Anda benar-benar merupakan max/min. Selalu konfirmasi dengan uji turunan atau pemeriksaan titik akhir.
Maksimalkan luas $A(x)=40x-2x^2$ (dari pengaturan pagar), $0<x<20$.
- $A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$.
- $A''(x)=-4<0$ → cekung ke bawah → maksimum ✓.
- Kemudian $y=40-2(10)=20$, dan $A=10\cdot20=200\ \text{m}^2$. Dimensi $10\times20$, luas maksimum $200\ \text{m}^2$.
Untuk menyelesaikan optimisasi: turunkan fungsi tujuan satu variabel, samakan dengan nol untuk titik kritis, konfirmasi max/min dengan uji turunan (dan periksa titik akhir domain), lalu jawab pertanyaan yang tepat dengan satuan. Jangan laporkan kuantitas yang salah, dan selalu berikan justifikasi.