Menjelajahi Perilaku Relasi Implisit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | hubungan implisit |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | turunan implisit |
Menganalisis kurva yang bukan fungsi
- Lingkaran, elips, dan relasi implisit lainnya gagal uji garis vertikal — mereka bukan $y=f(x)$.
- Namun alat kalkulus masih bekerja melalui diferensiasi implisit.
- Anda dapat menemukan kemiringan tangennya, menandai garis singgung horizontal dan vertikal, bahkan kecekungannya.
- Pelajaran ini menerapkan metode implisit Unit 3 untuk pertanyaan analisis Unit 5.
Garis singgung horizontal: pembilang nol
- Dari turunan implisit Anda memperoleh $\tfrac{dy}{dx}$ sebagai pecahan.
- Garis singgung horizontal terjadi di mana $\tfrac{dy}{dx}=0$ — set pembilang ke nol (dengan penyebut $\neq0$).
- Untuk $x^2+y^2=25$: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$ ketika $x=0$, yaitu pada $(0,5)$ dan $(0,-5)$ (atas dan bawah).
- Ini adalah titik tertinggi dan terendah dari kurva.
Garis singgung pada lingkaran
y = √(25 − x²) (bagian atas)
Pada $x^2+y^2=25$, bagian atas dan bawah memiliki garis singgung horizontal; bagian kiri dan kanan memiliki garis singgung vertikal.
Garis singgung horizontal pada kurva implisit terjadi ketika $\tfrac{dy}{dx}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Horizontal ⇔ kemiringan $0$ ⇔ pembilang $\tfrac{dy}{dx}$ bernilai nol.
Untuk $x^2+y^2=25$ ($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$), pilih semua titik yang memiliki garis singgung horizontal.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{dy}{dx}=0$ ketika $x=0$: titik atas dan bawah.
Garis singgung vertikal: penyebut nol
- Garis singgung vertikal terjadi di mana $\tfrac{dy}{dx}$ tidak terdefinisi — set penyebut ke nol (dengan pembilang $\neq0$).
- Untuk $x^2+y^2=25$: $-\tfrac{x}{y}$ tidak terdefinisi ketika $y=0$, yaitu pada $(5,0)$ dan $(-5,0)$ (kiri dan kanan).
- Garis singgungnya vertikal di sana — kurva berubah menjadi tegak lurus naik-turun.
- Pembilang nol → horizontal; penyebut nol → vertikal.
Garis singgung vertikal terjadi ketika ____ dari $\tfrac{dy}{dx}$ bernilai nol.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Penyebut nol ⇒ kemiringan tidak terdefinisi ⇒ garis singgung vertikal.
Menyamakan penyebut $\tfrac{dy}{dx}$ dengan nol menemukan garis singgung yang...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Penyebut nol ⇒ garis singgung vertikal (pembilang nol ⇒ horizontal).
Kekurungan: turunan implisit kedua
- Untuk mendapatkan kekurungan, turunkan $\tfrac{dy}{dx}$ lagi, secara implisit, untuk menemukan $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- Ingat setiap $y$ masih bergantung pada $x$, sehingga aturan rantai muncul kembali, dan Anda mensubstitusikan nilai $\tfrac{dy}{dx}$ yang diketahui.
- Tanda dari $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ memberikan cekung ke atas/bawah pada suatu titik, sama seperti sebelumnya.
- Ini lebih banyak aljabar, tetapi ide yang sama: $f''>0$ naik, $f''<0$ turun.
Titik kandidat harus memenuhi persamaan asli (terletak pada kurva) agar dapat dihitung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Periksa apakah titik tersebut benar-benar terletak pada kurva, bukan hanya memenuhi syarat kemiringan.
Untuk menemukan kecekungan pada kurva implisit Anda perlu...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan kedua implisit $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ memberikan kecekungan berdasarkan tandanya.
Untuk garis singgung horizontal set pembilang dari $\tfrac{dy}{dx}$ ke nol; untuk garis singgung vertikal set penyebut ke nol — jangan tukar keduanya. Dan sebuah titik hanya memenuhi syarat jika benar-benar terletak pada kurva: periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan awal, bukan hanya kondisi turunannya.
Temukan garis singgung horizontal dan vertikal dari $x^2+y^2=25$.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- Horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- Vertikal ($\tfrac{dy}{dx}$ tidak terdefinisi): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
Analisis hubungan implisit dengan turunan implisit: $\tfrac{dy}{dx}=0$ (pembilang nol) menghasilkan garis singgung horizontal; $\tfrac{dy}{dx}$ tidak terdefinisi (penyebut nol) menghasilkan garis singgung vertikal. Turunkan lagi secara implisit untuk $\tfrac{d^2y}{dx^2}$ dan baca kekurangannya dari tandanya. Selalu pastikan titik-titik berada pada kurva.