Teorema Nilai Ekstrem, Ekstrem Global Versus Lokal, dan Titik Kritis
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | Ekstremum (Relatif) Lokal |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | Ekstremum (Absolut) Global |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | Titik Kritis |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Teorema Nilai Ekstrem |
Puncak, lembah, dan di mana menemukannya
- Grafik yang mulus memiliki titik tinggi dan titik rendah — turunan adalah alat untuk menemukannya.
- Pertama, beberapa kosakata: ekstremum lokal (relatif) adalah puncak atau lembah dibandingkan dengan titik-titik di sekitarnya.
- Ekstremum global (absolut) adalah titik tertinggi atau terendah tunggal di seluruh interval.
- Kandidat untuk keduanya adalah input khusus yang disebut titik kritis.
"Maksimum lokal (relatif)" adalah titik yang tertinggi dibandingkan dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lokal = dibandingkan dengan titik terdekat; global = di seluruh interval.
Teorema Nilai Ekstrem
- Teorema Nilai Ekstrem (EVT) menjamin keberadaan ekstrem — di bawah suatu syarat.
- Jika $f$ kontinu pada interval tertutup $[a,b]$, maka $f$ mencapai maksimum absolut dan minimum absolut pada $[a,b]$.
- Kelanjutan + interval tertutup adalah tiket masuk; hilangkan salah satunya dan maksimum atau minimum mungkin tidak ada.
- EVT memberi tahu Anda mereka ada; turunan membantu Anda menemukannya.
TNE menjamin adanya maksimum dan minimum ketika $f$ kontinu pada interval ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kontinuitas ditambah interval tertutup diperlukan.
Titik kritis: tempat ekstrem bisa bersembunyi
- Titik kritis adalah interior $x$ di mana $f'(x)=0$ atau $f'(x)$ tidak ada.
- $f'=0$: garis singgung horizontal (puncak atau lembah yang mulus). $f'$ tidak terdefinisi: sudut tajam atau cuspid.
- Ekstremum lokal dapat terjadi hanya pada titik kritis — tidak ada di tempat lain di dalam interval.
- Jadi untuk mencari ekstrem, pertama-tama selesaikan $f'(x)=0$ dan catat di mana $f'$ tidak terdefinisi.
Di mana kemiringan adalah nol
y = ax³ + cx
Pada puncak atau lembah lokal, garis singgungnya horizontal ($f'=0$) — input-input tersebut adalah titik kritis.
Titik kritis adalah interior $x$ di mana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Titik kritis: $f'=0$ atau $f'$ tidak terdefinisi.
Lokal vs. global — jangan tertukar
- Maksimum lokal lebih tinggi dari tetangga terdekatnya; maksimum global adalah yang tertinggi di mana pun pada $[a,b]$.
- Ekstremum global pada interval tertutup berada di salah satu titik kritis atau titik ujung.
- Tidak setiap titik kritis adalah ekstrem (garis singgung horizontal bisa berupa dataran di kurva yang naik).
- Lokal dan global adalah pertanyaan yang berbeda — sebuah titik bisa menjadi salah satunya tanpa menjadi yang lain.
Temukan semua titik kritis dari $f(x)=x^3-3x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ pada $x=\pm1$.
Setiap titik di mana $f'(x)=0$ adalah maksimum atau minimum lokal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=x^3$ pada $0$ memiliki $f'=0$ tetapi tidak ada ekstrem — titik kritis hanyalah kandidat.
Pada interval tertutup, ekstrem mutlak harus terjadi pada titik kritis atau pada...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Periksa titik kritis dan kedua titik ujung.
$f'(c)=0$ tidak menjamin adanya ekstremum di $c$. Kurva $y=x^3$ memiliki $f'(0)=0$, tetapi $x=0$ bukan maksimum maupun minimum — hanya titik belok datar. Titik kritis hanyalah kandidat; Anda harus mengujinya (pelajaran 5.4, 5.7). Dan EVT membutuhkan keduanya, yaitu kontinuitas dan interval tertutup.
Temukan titik kritis dari $f(x)=x^3-3x$.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- Tetapkan $f'(x)=0$: $x=1$ dan $x=-1$ — keduanya menghasilkan garis singgung horizontal.
- $f'$ didefinisikan di mana saja (polinomial), sehingga kedua ini adalah satu-satunya titik kritis.
Teorem Nilai Ekstrem: fungsi kontinu pada interval tertutup mencapai nilai mutlak maksimum dan minimum. Nilai-nilai tersebut, serta semua ekstrem lokal, hanya terjadi pada titik kritis ($f'=0$ atau tidak terdefinisi) atau titik ujung interval. Titik kritis adalah kandidat, bukan jaminan — selalu uji.