Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | Teorema Nilai Tengah |
Di suatu tempat, kecepatan instan sama dengan rata-rata
- Berkendara $120$ km dalam $2$ jam: kecepatan rata-rata Anda adalah $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
- Pada suatu saat speedometer Anda harus menunjukkan tepat $60$ — Anda tidak bisa memiliki rata-rata $60$ tanpa pernah mencapainya.
- Fakta intuitif ini adalah Teorema Nilai Tengah (MVT).
- Ini menghubungkan laju perubahan rata-rata dalam sebuah interval ke laju instan di suatu titik di dalamnya.
Hipotesis datang terlebih dahulu
- MVT memerlukan $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$.
- Jika keduanya terpenuhi, terdapat setidaknya satu $c$ dalam $(a,b)$ dengan
-
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- Sisi kiri adalah laju instan; sisi kanan adalah laju rata-rata atas $[a,b]$.
TVR pada $[a,b]$ memerlukan hipotesis yang mana?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kontinu pada interval tertutup dan terdiferensiasi pada interval terbuka. ($f(a)=f(b)$ adalah kondisi tambahan Rolle.)
TVR menjamin adanya $c$ di mana $f'(c)$ sama dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, laju rata-rata.
Garis singgung yang sejajar dengan garis potong
- Sisi kanan adalah kemiringan garis potong yang menghubungkan kedua ujung.
- Jadi MVT menjamin adanya titik di mana *garis singgung sejajar dengan garis potong tersebut.
- Secara geometris: di suatu tempat kemiringan kurva sama dengan kemiringan rata-rata keseluruhan.
- Seperti IVT, ini adalah teorema keberadaan — ia menjanjikan bahwa $c$ ada, bukan nilainya.
Garis singgung sejajar dengan garis secan
y = x²
Di suatu tempat di dalam interval, kemiringan garis singgung sama dengan kemiringan rata-rata (secan) — titik itu adalah $c$ yang dijamin oleh TVR.
Secara geometris, TVR menjamin adanya garis singgung yang sejajar dengan garis ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis singgung pada $c$ sejajar dengan garis secan yang menghubungkan titik-titik ujung.
Menemukan $c$ yang terjamin
- Untuk menemukan $c$: samakan $f'(c)$ dengan laju rata-rata dan selesaikan untuk $c$ dalam $(a,b)$.
- Pertama periksa hipotesis (kontinu + diferensiabel) — lewati itu dan teorema tidak berlaku.
- Buang semua solusi di luar interval terbuka $(a,b)$.
- MVT adalah mesin di balik banyak hasil kemudian (seperti "jika $f'=0$ di mana-mana, $f$ konstan").
Untuk $f(x)=x^2$ pada $[2,6]$, temukan $c$ yang dijamin oleh MVT.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Rata-rata $=\frac{36-4}{4}=8$; $2c=8\Rightarrow c=4\in(2,6)$.
Jika $f$ memiliki sudut di dalam $(a,b)$, TVR tetap dijamin berlaku.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sudut memecah diferensiasi, sehingga hipotesis gagal dan TVR mungkin tidak berlaku.
Seperti IVT, TVR adalah jenis teorema apa?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Teorema ini menjamin bahwa $c$ semacam itu ada (meskipun di sini Anda sering dapat menemukannya).
Kedua hipotesis diperlukan. Jika $f$ memiliki sudut tajam (tidak diferensiabel) atau robekan (tidak kontinu) pada interval, MVT dapat gagal — mungkin tidak ada $c$ seperti itu. Selalu konfirmasi $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$ sebelum menerapkannya.
Untuk $f(x)=x^2$ pada $[1,3]$, temukan $c$ yang dijamin oleh MVT.
- Laju rata-rata: $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4$.
- $f'(x)=2x$, jadi samakan $2c=4\Rightarrow c=2$.
- $c=2$ berada dalam $(1,3)$ ✓ — di sana kemiringan garis singgung sama dengan kemiringan rata-rata $4$.
Teorema Nilai Tengah: jika $f$ kontinu pada $[a,b]$ dan diferensiabel pada $(a,b)$, maka beberapa $c\in(a,b)$ memiliki $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — laju instan yang sama dengan laju rata-rata, yaitu garis singgung yang sejajar dengan garis potong. Periksa hipotesis, lalu selesaikan $f'(c)=$ rata-rata untuk $c$.