Aturan Perkalian
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Product Rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | Aturan Perkalian |
Mengapa perkalian memerlukan aturannya sendiri
- Menggoda tetapi salah: turunan dari sebuah perkalian bukanlah perkalian dari turunannya.
- $\dfrac{d}{dx}[x\cdot x]=\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$, tapi $f'g'=1\cdot1=1$. Mereka berbeda.
- Perkalian mendapatkan alatnya sendiri: Aturan Perkalian.
- Hal ini memperhitungkan kedua faktor yang berubah secara bersamaan.
Turunan dari $f\cdot g$ sama dengan $f'\cdot g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah $f'g+fg'$, bukan $f'g'$.
Aturannya
- Untuk perkalian dua fungsi:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f\,g\big]=f'\,g+f\,g'$$
- Dengan kata-kata: "turunan dari yang pertama dikali yang kedua, ditambah yang pertama dikali turunan dari yang kedua."
- Setiap suku menurunkan satu faktor dan membiarkan yang lainnya diam; kemudian Anda menjumlahkannya.
Aturan Perkalian menyatakan $\dfrac{d}{dx}[fg]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan pertama dikali kedua, ditambah pertama dikali turunan kedua.
Pola pengerjaan yang bersih
- Turunkan $y=x^2\,e^x$. Misalkan $f=x^2$ dan $g=e^x$.
- $f'=2x$, $g'=e^x$.
- $y'=f'g+fg'=2x\,e^x+x^2\,e^x$.
- Faktorkan jika diminta: $y'=x e^x(2+x)$.
Perubahan kecepatan perubahan sebuah perkalian
y = ax² + bx
Sebuah perkalian seperti $x^2 e^x$ memiliki kecepatan perubahan yang menggabungkan kedua faktor — Aturan Perkalian menangkap keduanya berubah sekaligus.
Turunkan $y=x^2 e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f'g+fg'=2x e^x+x^2 e^x$.
Untuk $y=x\sin x$, gunakan aturan perkalian untuk mencari $y'$ di $x=0$. (Ingat $\sin 0=0$, $\cos 0=1$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=\sin x+x\cos x$; di $0$: $0+0\cdot1=0$.
Kapan Anda benar-benar membutuhkannya
- Jika sebuah perkalian dapat dikalikan keluar terlebih dahulu, lakukanlah — mungkin lebih mudah ($x^2\cdot x^3=x^5\Rightarrow5x^4$).
- Tetapi ketika faktor-faktornya tidak dapat disederhanakan (seperti $x^2\sin x$ atau $e^x\ln x$), aturan diperlukan.
- Gabungkan secara bebas dengan aturan pangkat dan turunan dasar untuk setiap faktor.
- Berikan label pada $f,f',g,g'$ terlebih dahulu — akuntansi yang teratur mencegah kesalahan.
Untuk $y=x^2\cdot x^3$, langkah pertama paling cerdas adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Menyederhanakan ke $x^5$ terlebih dahulu lebih mudah: $5x^4$. Gunakan Aturan Perkalian hanya ketika faktor-faktor tidak dapat digabungkan.
Dalam setiap suku dari Aturan Perkalian, yang mana yang benar?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Satu faktor per suku diturunkan; kedua suku dijumlahkan. Menurunkan keduanya dalam satu suku adalah kesalahan klasik.
Aturan Perkalian adalah $f'g+fg'$, bukan $f'g'$. Kedua suku diperlukan, dan masing-masing mempertahankan faktor lainnya tanpa didiferensiasikan. Kesalahan yang sangat umum adalah mendifferensiasikan kedua faktor dalam suku yang sama — jangan lakukan itu. Tepat satu faktor yang didiferensiasikan per suku.
Turunkan $y=(3x^2)(\sin x)$.
- $f=3x^2\Rightarrow f'=6x$; $\quad g=\sin x\Rightarrow g'=\cos x$.
- $y'=f'g+fg'=6x\sin x+3x^2\cos x$.
- Tidak ada faktor yang dapat disederhanakan, sehingga Aturan Perkalian diperlukan.
Aturan Perkalian: $\frac{d}{dx}[fg]=f'g+fg'$ — turunkan satu faktor pada satu waktu dan tambahkan. Gunakan kapan pun perkalian fungsi yang dapat diturunkan tidak dapat disederhanakan terlebih dahulu. Ini bukan $f'g'$; setiap suku menurunkan tepat satu faktor.