Turunan dari cos x, sin x, eˣ, dan ln x
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | Eksponensial |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | Logaritmik |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | Turunan dasar |
Empat turunan yang layak hafal
- Aturan Pangkat berhenti pada pangkat dari $x$. Di luar itu terdapat fungsi-fungsi elementer.
- Empat darinya muncul terus-menerus, jadi turunan mereka layak diketahui dengan hafalan.
- Mereka adalah $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, dan $\ln x$.
- Hafalkan empat ini dan, dengan aturan sebelumnya, Anda dapat menurunkan berbagai ekspresi besar.
Pasangan trigonometri
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — perhatikan tanda minus-nya.
- Pengecekan berguna: kemiringan dari $\sin x$ di $0$ adalah $1$ (kenaikan tercuram), dan $\cos 0=1$. ✓
- (Ini memerlukan $x$ dalam radian — rumus bersih hanya berlaku di sana.)
Kecepatan perubahan sinus adalah kosinus
Di mana $\sin x$ paling curam (di $0$), kecepatannya adalah $1$ — tepat $\cos 0$. Turunan dari $\sin$ adalah $\cos$.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (perhatikan tanda).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan dari cosinus adalah $-\sin x$.
Eksponensial dan logaritma
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — fungsi eksponensial adalah turunannya sendiri. Kemiringannya selalu sama dengan tingginya.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — turunan logaritma, valid untuk $x>0$.
- $e^x$ adalah fungsi unik yang tidak pernah berubah di bawah penurunan.
- $\ln x$ berubah menjadi resiprokal sederhana $\tfrac1x$ — hasil yang cukup rapi.
$e^x$ adalah turunannya sendiri.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unik di antara semua fungsi.
Apa itu $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (untuk $x>0$)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Gabungkan dengan aturan penggabungan
- Turunan dasar ini langsung masuk ke dalam aturan jumlah, selisih, dan perkalian konstanta.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Turunkan setiap suku dengan aturannya masing-masing, lalu gabungkan — tidak ada hal baru yang perlu dipelajari selain empat fakta tersebut.
Turunkan $3\sin x-2e^x$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$3\cos x$ dan $e^x$ tetap $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Pilih semua turunan dasar yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Yang terakhir salah — seharusnya $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, bukan $x$.
Hati-hati dengan tanda dan domain. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (tanda minus adalah kesalahan paling umum). $e^x$ adalah turunannya sendiri — jangan terapkan Aturan Pangkat pada itu. Dan $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ hanya berlaku untuk $x>0$, domain dari $\ln$.
Turunkan $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Hafalkan empat turunan dasar: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Mereka digabungkan dengan aturan jumlah/selisih/perkalian konstanta untuk menurunkan ekspresi campuran. Perhatikan tanda minus pada $\cos$, jaga $x$ dalam radian, dan ingat bahwa $e^x$ adalah turunannya sendiri.