Menghubungkan Diferensiabilitas dan Kontinuitas: Kapan Turunan Ada dan Tidak Ada
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| differentiability/ˌdɪfəˌrenʃɪəˈbɪlɪti/ | Diferensiasi |
| continuous/kənˈtɪnjuːəs/ | kontinu |
| corner/ˈkɔːnə/ | Sudut tajam |
| cusp/kʌsp/ | Titik belok |
| vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ | Garis singgung vertikal |
Halus menyiratkan terhubung — tetapi sebaliknya tidak
- Jika suatu fungsi memiliki turunan pada suatu titik, grafiknya tidak hanya tidak terputus di sana — ia halus.
- Diferensiasi pada suatu titik adalah kondisi yang lebih kuat daripada kontinuitas.
- Fakta kunci: diferensiable $\Rightarrow$ continuous. Garis singgung tidak bisa ada pada sebuah patahan.
- Namun sebaliknya gagal: grafik yang kontinu masih bisa memiliki titik tajam tanpa turunan.
Kurva halus yang diferensiable
y = ax² + bx
Parabola ini halus di mana saja — garis singgung ada di setiap titik, tidak seperti sudut tajam di mana kemiringan melompat.
Mengapa diferensiable memaksa kontinuitas
- Turunan adalah limit dari kemiringan secan; agar limit tersebut berhingga, fungsi tidak boleh melompat.
- Jika $f$ melompat di $c$, kemiringan secan di dekat $c$ akan meledak — tidak ada kemiringan tangen yang berhingga.
- Jadi memiliki $f'(c)$ menjamin $f$ kontinu di $c$.
- Kontraposisi (berguna di ujian): jika $f$ tidak kontinu di $c$, maka tidak diferensiable di sana.
Implikasi manakah yang benar?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Diferensiability mengharuskan kontinuitas; sebaliknya tidak benar.
Jika $f$ tidak kontinu pada $c$, maka $f$ pada $c$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kontraposisi dari "diferensiable $\Rightarrow$ kontinu": tidak kontinu $\Rightarrow$ tidak diferensiable.
Di mana turunan gagal ada
- Kontinuitas tidak cukup — tiga bentuk memecah diferensiasi bahkan tanpa celah:
- Sudut tajam: kemiringan kiri dan kanan berbeda (seperti $|x|$ di $0$).
- Titik runcing: kemiringan menuju $+\infty$ dan $-\infty$ (seperti $x^{2/3}$ di $0$).
- Garis singgung vertikal: garis singgungnya vertikal, sehingga kemiringannya tak terdefinisi (seperti $\sqrt[3]{x}$ di $0$).
Pada fitur manakah turunan gagal ada meskipun fungsi tersebut kontinu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sudut tajam, cuspid, dan garis singgung vertikal menghilangkan turunan; titik belok yang halus masih memiliki $f'=0$.
Pada garis singgung ____ , garis singgungnya vertikal, sehingga kemiringannya (turunannya) tidak terdefinisi.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis vertikal memiliki kemiringan tak terdefinisi; mis. $\sqrt[3]{x}$ pada $0$.
Semuanya kembali ke garis singgung
- Turunan hanya ada ketika ada satu garis singgung yang terdefinisi dengan baik dengan kemiringan berhingga.
- Sudut tajam memiliki dua garis singgung berbeda; titik runcing/garis singgung vertikal memiliki kemiringan tak hingga — keduanya tidak memberikan satu nilai berhingga.
- $|x|$ kontinu di mana-mana tetapi tidak memiliki turunan di $0$ — contoh penyangkal klasik.
- Jadi: periksa kontinuitas terlebih dahulu (syarat wajib), lalu periksa kemiringan tangen tunggal yang terbatas (sisa bagian).
$f(x)=|x|$ kontinu pada $0$ tetapi tidak diferensiable di sana.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sudut tajam memberikan kemiringan kiri $-1$, kemiringan kanan $+1$ — tidak ada kemiringan tangen tunggal.
Untuk $f(x)=|x|$, berapakah kemiringan sisi kanan (untuk $x>0$) pada $0$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Untuk $x>0$, $f(x)=x$, sehingga kemiringannya adalah $+1$ (kemiringan kiri adalah $-1$, sehingga membentuk sudut tajam).
Jangan membalik implikasi. Diferensiable $\Rightarrow$ continuous adalah benar, tetapi continuous $\Rightarrow$ differentiable adalah salah. $f(x)=|x|$ membuktikannya: sepenuhnya kontinu di $0$, namun sudut tajam berarti $f'(0)$ tidak ada (kemiringan kiri $-1$, kemiringan kanan $+1$).
Apakah $f(x)=|x|$ diferensiable di $x=0$?
- Kontinu di $0$? Ya — tidak ada celah. ✓
- Kemiringan kiri: untuk $x<0$, $f(x)=-x$, kemiringan $-1$. Kemiringan kanan: untuk $x>0$, $f(x)=x$, kemiringan $+1$.
- Kemiringan satu sisi tidak sama ($-1\neq1$) — sebuah sudut tajam.
- Jadi $f'(0)$ tidak ada, meskipun $f$ kontinu di sana.
Diferensiability $\Rightarrow$ continuity (tangen memerlukan grafik yang tak terputus), tetapi kontinuitas tidak menyiratkan diferensiability. Turunan gagal ada di sudut tajam (kemiringan tidak cocok), cusp, atau tangen vertikal (kemiringan tak hingga) — di mana pun tidak ada garis tangen tunggal dan terbatas.