Menerapkan Aturan Pangkat
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | Pangkat |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | Aturan Pangkat |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | Bilangan bulat |
Jalan pintas yang menggantikan limit
- Menghitung setiap turunan dari definisi limit itu lambat. Ada polanya.
- Untuk pangkat dari $x$, satu aturan melakukan itu seketika: Aturan Pangkat.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "Tarik eksponen ke bawah sebagai koefisien, lalu kurangi satu dari eksponen."
Pangkat dan kemiringan tangennya
y = x²
Untuk $y=x^2$ aturan pangkat memberikan kemiringan $2x$ — gerakkan titik dan periksa apakah kemiringan tangen cocok dengan $2x$.
Lihat cara kerjanya
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — angka $3$ turun ke depan, eksponen menjadi $3\to2$.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — turunan dari $x$ adalah $1$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- Ini sesuai dengan definisi limit (kita menemukan $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$) tetapi hanya dalam satu baris.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[x^5]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunkan $5$, kurangi eksponen: $5x^{5-1}=5x^4$.
Jika $f(x)=x^4$, tentukan $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(x)=4x^3$, sehingga $f'(2)=4\cdot8=32$.
Bekerja untuk semua eksponen
- $n$ bisa berupa eksponen negatif atau rasional (pecahan), bukan hanya bilangan bulat positif.
- Negatif: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- Rasional: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- Aturan yang sama setiap saat — tarik turun $n$, kurangi eksponen dengan satu.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. Eksponen $\square$ adalah ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurangi $-2$ dengan satu: $-2-1=-3$.
Aturan Pangkat menurunkan yang mana dari berikut ini secara langsung (setelah ditulis ulang)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Semuanya adalah pangkat dari $x$ setelah ditulis ulang; $5^x$ adalah fungsi eksponensial, bukan pangkat dari $x$.
Tulis ulang dulu, baru turunkan
- Akar dan resiprokal menyembunyikan pangkat — tulis ulang sebagai $x^n$ sebelum menerapkan aturan.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, sehingga $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, sehingga $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- Mengubah setiap suku menjadi pangkat adalah langkah persiapan utama.
Tulis ulang dan turunkan: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$ sama dengan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
Aturan Pangkat berlaku untuk $2^x$, menghasilkan $x\cdot 2^{x-1}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan Pangkat memerlukan basis variabel dengan eksponen konstan; $2^x$ adalah fungsi eksponensial (pelajaran berikutnya).
Aturan Pangkat berlaku untuk basis variabel dengan eksponen konstan ($x^n$). Aturan ini tidak berlaku untuk basis konstan dengan eksponen variabel — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (Ini adalah fungsi eksponensial, dibahas di pelajaran berikutnya.) Dan jangan lupa kurangi eksponen: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$, bukan $-2x^{-2}$.
Turunkan $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$.
- Tulis ulang sebagai pangkat: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- Aturan pangkat suku per suku: $\tfrac23 x^{-1/3}$ dan $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
Aturan Pangkat $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$ bekerja untuk semua eksponen konstan — bilangan bulat, negatif, atau rasional. Tulis ulang akar dan resiprokal sebagai pangkat dulu, lalu tarik eksponen ke bawah dan kurangi dengan satu. Ini menggantikan definisi limit untuk fungsi pangkat.