Mengestimasi Turunan Fungsi pada Suatu Titik
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| estimate/ˈestɪmət/ | perkiraan |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | Kuotien selisih |
Mengukur kemiringan yang tidak dapat dihitung secara eksak
- Terkadang Anda memiliki grafik atau tabel, bukan rumus — tetapi Anda tetap ingin $f'$ pada suatu titik.
- Anda dapat memperkirakan turunan dari apa yang Anda miliki.
- Dari grafik: ukur kecuraman garis singgung secara visual.
- Dari tabel: gunakan quotien selisih pada input terdekat yang tersedia.
Estimasi kemiringan secara visual
y = x²
Gerakkan titik dan perhatikan garis singgungnya — kekiriannya adalah turunan yang akan Anda estimasi dari grafik.
Dari grafik: kecuraman garis singgung
- Gambar (atau bayangkan) garis singgung pada titik tersebut, lalu baca kemiringannya sebagai kenaikan ÷ lari.
- Pilih dua titik jelas pada garis singgung, bukan pada kurva, dan hitung $\tfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Garis singgung lebih curam → $|f'|$ lebih besar; garis singgung datar → $f'\approx0$.
- Garis singgung naik → turunan positif; turun → negatif.
Untuk mengestimasi $f'(a)$ dari grafik, Anda harus mengukur kemiringan dari...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan adalah kemiringan tangen, dibaca dari titik-titik pada garis singgung.
Dari tabel: quotien selisih terdekat
- Dengan nilai tabel, perkirakan $f'(a)$ melalui quotien selisih pada titik terdekat:
- Estimasi simetris adalah yang terbaik: $f'(a)\approx\dfrac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$, menggunakan satu titik di masing-masing sisi.
- Atau gunakan quotien satu arah $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ jika hanya satu tetangga yang tersedia.
- $h$ yang lebih kecil (input lebih dekat) umumnya memberikan estimasi yang lebih baik.
Sebuah tabel memberikan $f(1.9)=4.2$ dan $f(2.1)=5.8$. Gunakan hasil bagi selisih simetris untuk mengestimasi $f'(2)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{5.8-4.2}{2(0.1)}=\dfrac{1.6}{0.2}=8$.
Menggunakan nilai input yang lebih dekat ke titik umumnya meningkatkan estimasi turunan berbasis tabel.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Interval yang lebih kecil mendekati kemiringan tangen dengan lebih baik.
Turunan yang dibaca dari tabel atau grafik adalah sebuah ____, bukan nilai eksak.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya aljabar pada rumus yang memberikan turunan eksak.
Dari $f(3)=10$ dan $f(3.2)=11.4$, estimasikan $f'(3)$ dengan hasil bagi selisih satu sisi.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\dfrac{11.4-10}{3.2-3}=\dfrac{1.4}{0.2}=7$.
Membaca tanda dan ukuran
- Tanda estimasi menunjukkan arah $f$: $+$ naik, $-$ turun.
- Ukuran menunjukkan seberapa cepat: turunan $12$ berarti $f$ berubah sekitar $12$ unit per unit $x$ di sana.
- Selalu sertakan satuan dan interpretasikan dalam konteks (misalnya "suhu sedang naik sekitar $2^\circ$C per menit").
- Estimasi adalah pendekatan — sebutkan hal itu, dan gunakan data terdekat yang Anda miliki.
Jika turunan yang diestimasi pada suatu titik bernilai negatif, maka fungsi di sana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Laju negatif berarti fungsi sedang menurun di sana.
Saat memperkirakan dari grafik, baca kemiringan garis singgung, bukan garis secan di dekatnya, dan ambil kedua titik Anda dari garis singgung, bukan dari kurva. Dari tabel, jangan gunakan titik $a$ itu sendiri sebagai kedua input — Anda membutuhkan dua input berbeda yang membatasi (atau mendekati) $a$.
Sebuah tabel memberikan $f(1.9)=4.2$, $f(2)=5.0$, $f(2.1)=5.9$. Perkirakan $f'(2)$.
- Quotien selisih simetris: $f'(2)\approx\dfrac{f(2.1)-f(1.9)}{2(0.1)}=\dfrac{5.9-4.2}{0.2}=\dfrac{1.7}{0.2}=8.5$.
- (Estimasi satu arah $\dfrac{5.9-5.0}{0.1}=9$ cukup dekat tetapi kurang seimbang.)
- Jadi $f'(2)\approx8.5$ — $f$ meningkat dengan laju sekitar $8.5$ satuan per satuan $x$.
Untuk memperkirakan turunan: dari grafik, baca kemiringan garis singgung (kenaikan ÷ lari menggunakan titik pada garis singgung); dari tabel, gunakan quotien selisih pada input terdekat — quotien simetris $\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}$ paling akurat. Tanda memberikan arah, ukuran memberikan laju.