Mendefinisikan Turunan Fungsi dan Menggunakan Notasi Turunan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | turunan |
Turunan: laju sesaat, dikemas
- Laju perubahan sesaat sangat berguna sehingga mendapat nama tersendiri: turunan.
- Ini mengubah "kemiringan garis singgung di setiap $x$" menjadi fungsi baru, $f'(x)$.
- Berikan input $x$ kepadanya, dan ia mengembalikan kemiringan $f$ tepat di sana.
- Pelajaran ini membuat definisi presisi dan menunjukkan notasi yang akan Anda gunakan di mana-mana.
Turunan adalah kemiringan tangen
y = x²
Seret titik sepanjang kurva — angka yang ditunjukkan oleh kemiringan tangen tepat $f'(x)$ pada input tersebut.
Definisi limit
- Turunan dari $f$ adalah
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Di dalamnya terdapat quotien selisih — kemiringan secan pada interval dengan lebar $h$.
- Mengambil $h\to0$ mengecilkan interval menjadi nol, mengubah kemiringan secan menjadi kemiringan tangen.
Ekspresi manakah merupakan definisi limit dari $f'(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan adalah limit dari hasil bagi selisih saat $h\to0$.
Versi "pada suatu titik"
- Untuk menemukan kemiringan pada satu input tertentu $a$, gunakan bentuk alternatif:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Di sini $x$ meluncur mendekati $a$ alih-alih langkah $h$ menyempit menjadi $0$ — ide yang sama, pembukuan berbeda.
- Kedua definisi hanyalah "kemiringan secan, dalam limit", sehingga selalu sepakat.
Anda dapat menghitung $f'(x)$ dengan menetapkan $h=0$ langsung di dalam $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu menghasilkan $\tfrac00$; Anda harus mengambil limit setelah menyederhanakan.
Bentuk alternatif $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ paling baik dijelaskan sebagai...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah kemiringan tangen yang sama pada $a$, dinyatakan dengan $x\to a$ alih-alih $h\to0$.
Membaca notasi
- Turunan yang sama memiliki beberapa tampilan — pelajari untuk mengenali semuanya:
- Lagrange: $f'(x)$ (dibaca "$f$ prima dari $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — menekankan "laju $y$ terhadap $x$."
- Semua berarti laju perubahan sesaat, yaitu kemiringan garis singgung di $x$.
Notasi Leibniz $\dfrac{dy}{dx}$ berarti sama dengan $f'(x)$: yaitu ____ dari garis singgung.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Keduanya melambangkan laju perubahan instan = kemiringan tangen.
Pilih semua notasi yang melambangkan turunan dari $y=f(x)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Tiga pertama semuanya adalah turunan; $f(x)^{-1}$ adalah resiprokal/kebalikan, bukan turunan.
Anda tidak bisa langsung memasukkan $h=0$ ke dalam $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — itu akan menghasilkan $\tfrac00$. Turunan adalah limit saat $h\to0$, yang Anda evaluasi dengan menyederhanakan quotien selisih terlebih dahulu (membatalkan $h$), lalu membiarkan $h\to0$. Melewati limit adalah kesalahan klasik.
Dari definisi, $f(x)=x^2$ menghasilkan $f'(x)=2x$. Hitunglah $f'(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Gunakan definisi untuk mencari $f'(x)$ untuk $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (untuk $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, sehingga $f'(x)=2x$.
Turunan $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (atau bentuk titik $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) adalah limit dari quotien selisih — kemiringan garis singgung, yaitu laju perubahan sesaat. Tulis sebagai $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, atau $\frac{d}{dx}[f(x)]$.