Volume dengan Metode Cakram: Memutar Sumbu Lain
DiperkenalkanMemutar di sekitar garis bergeser
- Bagaimana jika Anda memutar daerah bukan tentang sumbu, melainkan tentang garis seperti $y=-1$ atau $x=3$?
- Metode disk tetap berlaku — Anda hanya perlu mengukur jari-jari dari kurva ke sumbu yang tergeser itu.
- Rumus $V=\pi\int R^2$ tidak berubah; hanya $R$ yang perlu disesuaikan.
- Mendapatkan jari-jari dengan benar adalah kunci utamanya.
Jari-jari = jarak ke sumbu baru
- Memutar tentang garis horizontal $y=k$: jari-jarinya adalah celah vertikal $R=|f(x)-k|$.
- Memutar tentang garis vertikal $x=k$: jari-jarinya adalah celah horizontal $R=|g(y)-k|$.
- Kurangi nilai sumbu dari nilai kurva (dalam variabel yang tepat) untuk mendapatkan jaraknya.
- Kemudian kuadratkan, kalikan dengan $\pi$, dan integralkan seperti biasa.
Kurva di atas sumbu yang digeser
y = a·√x
Memutar tentang $y=-1$ membuat jari-jari mencapai dari kurva ke garis itu — $R=f(x)+1$, lebih besar dari $f(x)$.
Memutar $y=f(x)$ tentang garis $y=-1$, jari-jarinya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jarak dari $f(x)$ ke bawah hingga $y=-1$ adalah $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
Memutar tentang $y=k$ (di bawah wilayah), jari-jari kurva $f(x)$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai kurva dikurangi nilai sumbu: $f(x)-k$.
Memutar tentang garis vertikal $x=k$, jari-jarinya adalah jarak ____ $|g(y)-k|$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Untuk sumbu vertikal, ukur secara horizontal.
Sumbu di bawah daerah
- Jika sumbu $y=k$ berada di bawah daerah, kurva berada di atasnya, sehingga $R=f(x)-k$ (celah positif).
- Contoh: berputar tentang $y=-1$ sebuah kurva pada ketinggian $f(x)$ memberikan jari-jari $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- "$+1$" adalah jarak ekstra ke bawah menuju sumbu yang tergeser.
- Selalu gambarlah: jari-jari membentang dari kurva ke sumbu.
Jika sumbu $y=3$ terletak di atas wilayah (kurva $f(x)<3$), jari-jarinya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jarak adalah sumbu dikurangi kurva: $3-f(x)$ (celah positif).
Jangan gunakan kembali jari-jari sumbu biasa
- Kesalahan paling umum adalah lupa untuk menggeser: menggunakan $R=f(x)$ ketika sumbunya adalah $y=-1$.
- Hal itu meremehkan jari-jari sebesar jumlah pergeseran, memberikan volume yang salah (terlalu kecil).
- Tulis ulang jari-jari sebagai (nilai kurva) $-$ (nilai sumbu) setiap kali sumbu tidak $y=0$ atau $x=0$.
- Menggambar segmen jarak mencegah kesalahan ini.
Saat memutar tentang $y=-1$, Anda masih dapat menggunakan jari-jari $R=f(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda harus menggeser: $R=f(x)+1$.
Memutar $y=\sqrt x$ pada $[0,4]$ tentang $y=-1$ menghasilkan jari-jari $\sqrt x+1$, jadi $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Untuk sumbu yang bergeser, jari-jari adalah jarak dari kurva ke garis itu, mis. $R=f(x)-k$ untuk $y=k$ — bukan hanya $f(x)$. Memutar tentang $y=-1$ membuat jari-jari lebih besar (tambahkan $1$); tentang $y=3$ di atas daerah membuatnya $3-f(x)$. Selalu ukur ke sumbu yang benar sebelum dikuadratkan.
Putar daerah antara $y=\sqrt x$ dan garis $y=-1$ pada $[0,4]$ tentang $y=-1$. (Daerah mencapai turun ke sumbu, sehingga setiap irisan menyapu cakram solid — tidak ada lubang.)
- Jari-jari membentang dari kurva ke bawah menuju $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Metode disk tentang sumbu yang bergeser mempertahankan $V=\pi\int R^2$, tetapi jari-jari adalah jarak dari kurva ke garis itu: $R=f(x)-k$ untuk $y=k$, atau $g(y)-k$ untuk $x=k$. Sesuaikan $R$ untuk pergeseran (sumbu di bawah daerah menambah jari-jari); jangan pernah gunakan kembali jari-jari sumbu biasa.