Volume dengan Metode Washer: Memutar Sumbu x atau y
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | cincin (washer) |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | metode cincin (washer method) |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | jari-jari dalam |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | jari-jari luar |
Cakram dengan lubang di dalamnya
- Saat Anda memutar daerah yang memiliki celah antara dua kurva, setiap irisan bukan cakram solid — melainkan cincin.
- Cincin itu (cakram dengan lubang melingkar yang ditikam keluar) disebut washer (pencuci piring).
- Luasnya adalah lingkaran besar dikurangi lingkaran kecil: $\pi R^2-\pi r^2$.
- Menjumlahkan washer adalah metode washer.
Washer (daripada cakram) muncul ketika...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Celah meninggalkan lubang → washer.
Jari-jari luar dikurangi jari-jari dalam
- Setiap washer memiliki jari-jari luar $R$ (ke kurva jauh) dan jari-jari dalam $r$ (ke kurva dekat).
- Luasnya adalah $\pi\big(R^2-r^2\big)$, jadi:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- Memutar tentang sumbu $x$, $R$ dan $r$ adalah jarak dari kedua kurva ke sumbu tersebut.
Dua kurva membentuk cincin
y = ax² + bx
Antara $y=x$ dan $y=\sqrt x$ terdapat celah dari sumbu — perputaran menghasilkan washer dengan jari-jari luar $\sqrt x$, jari-jari dalam $x$.
Volume metode washer adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lingkaran besar dikurangi lingkaran kecil: $\pi(R^2-r^2)$.
Dalam washer, $R$ adalah jari-jari ____ (ke kurva jauh) dan $r$ jari-jari dalam.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Luar ke kurva jauh, dalam ke kurva dekat.
Mengidentifikasi $R$ dan $r$
- $R$ (luar) berasal dari kurva yang lebih jauh dari sumbu; $r$ (dalam) dari kurva yang lebih dekat.
- Memutar daerah antara $y=f(x)$ (atas) dan $y=g(x)$ (bawah) tentang sumbu $x$: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- Lubang ada karena kurva bawah tidak mencapai sumbu.
- Kuadratkan masing-masing jari-jari terpisah sebelum dikurangkan.
Memutar wilayah antara $y=\sqrt x$ (atas) dan $y=x$ (bawah) tentang sumbu $x$, jari-jari luarnya adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kurva yang lebih jauh dari sumbu, $\sqrt x$, adalah jari-jari luar.
Kuadratkan dulu, baru kurangkan
- Luasnya adalah $\pi(R^2-r^2)$, bukan $\pi(R-r)^2$ — kuadratkan masing-masing jari-jari sebelum Anda mengurangkannya.
- $(R-r)^2$ akan secara keliru mencakup suku silang dan memberikan volume yang salah.
- Jadi hitung $R^2$ dan $r^2$ masing-masing, kurangkan, lalu integralkan dan kalikan dengan $\pi$.
- Ini adalah kesalahan washer yang paling umum.
Integran washer $R^2-r^2$ sama dengan $(R-r)^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Kuadratkan masing-masing jari-jari terlebih dahulu; $(R-r)^2$ salah.
Untuk $R=\sqrt x$, $r=x$ pada $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
Integran washer adalah $R^2-r^2$, bukan $(R-r)^2$ — kuadratkan jari-jarinya sebelum dikurangkan. Dan pertahankan $R$ (luar, ke kurva jauh) berbeda dari $r$ (dalam, ke kurva dekat); menukar keduanya, atau menggunakan $(R-r)^2$, keduanya memberikan volume yang salah. Washer muncul hanya ketika celah memisahkan daerah dari sumbu.
Putar daerah antara $y=x$ (bawah) dan $y=\sqrt x$ (atas) pada $[0,1]$ tentang sumbu $x$.
- Jari-jari luar $R=\sqrt x$, jari-jari dalam $r=x$ (pada $[0,1]$, $\sqrt x\ge x$).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
Metode washer memutar daerah dengan celah menjadi cincin: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, di mana $R$ adalah jari-jari luar (kurva jauh) dan $r$ jari-jari dalam (kurva dekat). Kuadratkan masing-masing jari-jari sebelum dikurangkan — $R^2-r^2$, jangan pernah $(R-r)^2$.