Menggambar Grafik Fungsi dan Turunannya
DiperkenalkanMenggambar seluruh bentuk dari turunannya
- Turunan adalah resep untuk grafik: $f'$ memberikan kemiringan, $f''$ memberikan kelengkungan.
- Gabungkan kedua diagram tanda dan Anda dapat menggambar sketsa kurva yang tidak pernah diberikan kepada Anda.
- Ekstremum berasal dari $f'$; kecekungan dan belokan berasal dari $f''$.
- Di sinilah seluruh Unit 5 bersatu menjadi satu gambar.
Informasi yang Anda kumpulkan
- Dari $f'$: interval kenaikan/penurunan dan ekstremum (di mana $f'$ berubah tanda).
- Dari $f''$: interval kecekungan dan titik belok (di mana $f''$ berubah tanda).
- Ditambah beberapa titik terplot dan semua titik potong untuk menancapkan ketinggian.
- Lapiskan semuanya bersama-sama dan bentuknya akan terbentuk.
Ekstrema lokal dari $f$ terjadi pada ____ dari $f'$ di mana ia berubah tanda.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nol yang berubah tanda dari $f'$ menandai ekstrema dari $f$.
Fitur mana yang berasal dari $f''$ (turunan kedua)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kekurvature + belok dari $f''$; peningkatan/pengurangan + ekstrema dari $f'$.
Menggambar sketsa $f'$ dari $f$, dan sebaliknya
- Diberikan grafik dari $f$: di mana $f$ memiliki tangen mendatar, $f'=0$ (nol dari $f'$).
- Di mana $f$ naik, $f'$ positif; di mana $f$ turun, $f'$ negatif.
- Di mana $f$ paling curam, $f'$ berada pada ekstrem; pada belokan dari $f$, $f'$ memiliki maksimum atau minimum.
- Balik pembacaan untuk menggambar sketsa $f$ dari $f'$ yang diberikan.
Di mana grafik $f$ memiliki tangen horizontal, grafik $f'$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tangen horizontal ⇒ kemiringan $0$ ⇒ $f'=0$.
Di mana $f$ meningkat, turunannya $f'$ positif.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Meningkat ⇔ $f'>0$.
Menandai poin pada sketsa
- Tandai setiap ekstremum (puncak/lembah), setiap titik belok (pembalikan lekukan), dan label intervalnya.
- Cocokkan kenaikan+cekung ke atas (melengkung tajam ke atas) vs. kenaikan+cekung ke bawah (men datar), dan seterusnya—empat kombinasi.
- Periksa konsistensi: maksimum lokal harus berada di mana kenaikan berubah menjadi penurunan dan kurva cekung ke bawah.
- Sketsa yang bersih menunjukkan keempat fitur tersebut saling setuju.
Bentuk akhirnya
y = ax³ + cx
Puncak di $(-1,2)$, belok di $(0,0)$, lembah di $(1,-2)$ — persis apa yang diprediksi oleh grafik $f'$ dan $f''$.
Di titik di mana $f$ tinggi tetapi datar, nilai $f'$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Baca kemiringan, bukan ketinggian: datar ⇒ $f'=0$.
Maksimum lokal seharusnya terjadi di mana $f$ berubah dari meningkat menjadi menurun dan kurva cembung...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Puncak cembung ke bawah (topi).
Jangan baca $f'$ dari tinggi $f$—baca dari kemiringan. Di mana $f$ tinggi tetapi datar, $f'=0$, bukan "besar." Dan nol dari $f'$ menandai kemungkinan ekstremum dari $f$; nol dari $f''$ menandai kemungkinan belokan dari $f$—jaga tingkat-tingkat tersebut tetap terpisah.
Petunjuk menggambar sketsa untuk $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: meningkat pada $(-\infty,-1)$ dan $(1,\infty)$, menurun pada $(-1,1)$; maksimum pada $(-1,2)$, minimum pada $(1,-2)$.
- $f''=6x$: cekung ke bawah untuk $x<0$, cekung ke atas untuk $x>0$; belokan pada $(0,0)$.
- Sketsa: naik menuju puncak pada $(-1,2)$, turun melewati $(0,0)$, turun ke $(1,-2)$, lalu naik.
Untuk menggambar sketsa grafik, gabungkan apa yang $f'$ katakan (kenaikan/penurunan dan ekstremum) dengan apa yang $f''$ katakan (kecekungan dan titik belok), ditambah beberapa titik penyangga. Baca $f'$ dari kemiringan $f$ (bukan tingginya); nol dari $f'$ adalah kemungkinan ekstremum, nol dari $f''$ adalah kemungkinan belokan.