Menggunakan Uji Turunan Kedua untuk Menentukan Ekstrema
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | Uji Turunan Kedua |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | tidak konklusif |
Klasifikasikan ekstrem dengan satu angka
- Uji Turunan Pertama membaca perubahan tanda; Uji Turunan Kedua seringkali lebih cepat.
- Di titik kritis di mana $f'(c)=0$, cukup periksa tanda $f''(c)$.
- Cembung ke atas di titik datar → lembah; cembung ke bawah di titik datar → puncak.
- Satu evaluasi $f''$ dapat menyelesaikannya — tidak perlu diagram tanda.
$f''(c) > 0$: minimum
- Jika $f'(c)=0$ dan $f''(c)>0$, maka $f$ memiliki minimum relatif di $c$.
- Cembung ke atas (cangkir) dengan garis singgung horizontal = dasar lembah.
- Intuisi: kemiringan nol dan naik, sehingga kurva berbelok ke atas.
Mangkuk di minimum, topi di maksimum
y = ax³ + cx
Di minimum lokal kurva cembung ke atas ($f''>0$); di maksimum lokal cembung ke bawah ($f''<0$).
Jika $f'(c)=0$ dan $f''(c)>0$, maka $c$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cembung ke atas di tempat datar = minimum.
$f''(c) < 0$: maksimum
- Jika $f'(c)=0$ dan $f''(c)<0$, maka $f$ memiliki maksimum relatif di $c$.
- Cembung ke bawah (topi) dengan garis singgung horizontal = puncak bukit.
- Kemiringan nol dan turun, sehingga kurva berbelok ke bawah.
Jika $f'(c)=0$ dan $f''(c)<0$, maka $c$ adalah relatif ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cembung ke bawah di tempat datar = maksimum.
Ketika tidak mengatakan apa-apa
- Jika $f''(c)=0$, uji tersebut tidak konklusif — tidak memberikan jawaban.
- Titik tersebut bisa berupa maksimum, minimum, atau keduanya (seperti $y=x^3$ di $0$, atau $y=x^4$ di $0$).
- Manfaatkan Uji Turunan Pertama (perubahan tanda $f'$) dalam kasus tersebut.
- Jadi: gunakan Uji Turunan Kedua terlebih dahulu jika $f''$ mudah; beralih ke uji pertama jika $f''(c)=0$.
Jika $f''(c)=0$, Uji Turunan Kedua membuktikan tidak ada ekstrema di $c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini tidak konklusif — gunakan Uji Turunan Pertama sebagai gantinya.
Untuk $f(x)=x^3-3x$ ($f''=6x$), klasifikasikan $x=-1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''(-1)=-6<0$ → maksimum relatif.
Uji Turunan Kedua diterapkan pada titik kritis di mana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini mengklasifikasikan titik kritis di mana tangen horizontal, $f'(c)=0$.
Kapan Anda harus beralih ke Uji Turunan Pertama?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Uji pertama selalu berhasil; yang kedua hanya sering lebih cepat.
Uji Turunan Kedua memerlukan $f'(c)=0$ pertama—ini mengklasifikasikan titik kritis di mana tangen mendatar. Dan $f''(c)=0$ bersifat tidak konklusif, bukan "keduanya tidak": Anda harus kemudian menggunakan Uji Turunan Pertama. Jangan menyimpulkan "tidak ada ekstremum" hanya karena $f''(c)=0$.
Klasifikasikan titik kritis dari $f(x)=x^3-3x$ menggunakan $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ pada $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- Pada $x=1$: $f''(1)=6>0$ → minimum relatif.
- Pada $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → maksimum relatif.
Uji Turunan Kedua: pada titik kritis dengan $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ memberikan minimum relatif dan $f''(c)<0$ maksimum relatif. Jika $f''(c)=0$, uji ini tidak konklusif—manfaatkan Uji Turunan Pertama.