Menentukan Kekurvature Fungsi atas Domainnya
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | kecembungan |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | tanda turunan kedua |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | cekung ke atas |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | cekung ke bawah |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | titik belok |
Bagaimana kurva membengkok
- Naik/turun memberi tahu Anda arah kurva bergerak; kelengkungan memberi tahu Anda bagaimana ia membengkok.
- Kurva bisa naik sambil membengkok seperti cangkir (terbuka ke atas) atau seperti topi (terbuka ke bawah).
- Kelengkungan dikendalikan oleh tanda turunan kedua.
- $f''$ mengukur bagaimana kemiringan $f'$ itu sendiri berubah.
Cembung ke atas: $f'' > 0$
- Di mana $f''(x)>0$, grafik bersifat cembung ke atas — berbentuk senyum, menampung air.
- Kemiringan $f'$ sedang naik (menjadi lebih positif atau kurang negatif).
- Lembah berbentuk cangkir adalah cembung ke atas.
- Garis singgung terletak di bawah kurva cembung ke atas.
Graf cembung ke atas tepat di mana...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cembung ke atas ⇔ $f''>0$ (kemiringan meningkat).
Cembung ke atas berarti kemiringan $f'$ adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Cembung ke atas ⇔ $f'$ meningkat ⇔ $f''>0$.
Cembung ke bawah: $f'' < 0$
- Di mana $f''(x)<0$, grafik bersifat cembung ke bawah — berbentuk cemberut.
- Kemiringan $f'$ adalah menurun.
- Bukit berbentuk topi adalah cembung ke bawah.
- Garis singgung terletak di atas kurva cembung ke bawah.
Di mana $f''(x)<0$, graf cembung ____ (berbentuk topi).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan kedua negatif → cembung ke bawah.
Titik belok: di mana kelengkungan berbalik
- Titik belok adalah tempat kelengkungan berubah — dari atas ke bawah atau dari bawah ke atas.
- Di sana, $f''$ mengubah tanda (biasanya melewati $0$, kadang-kadang tidak terdefinisi).
- Bangun diagram tanda dari $f''$, persis seperti yang Anda lakukan untuk $f'$, untuk menemukan ini.
- Titik belok berkaitan dengan perubahan kelengkungan, bukan kemiringan.
Cembung ke bawah lalu ke atas
y = x³
Kubik ini melengkung seperti topi untuk $x<0$ dan seperti mangkuk untuk $x>0$ — perubahan arah pada $0$ adalah titik belok.
Titik belok memerlukan $f''$ berubah tanda, bukan hanya sama dengan nol.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y=x^4$ memiliki $f''(0)=0$ tetapi tidak ada perubahan tanda → bukan titik belok.
Untuk $f(x)=x^3$, $f''(x)=6x$. Pada $x$ manakah titik beloknya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f''=6x$ berubah tanda di $x=0$.
Untuk $y=x^4$, apakah $x=0$ merupakan titik belok?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f''=12x^2\ge0$ di kedua sisi — tidak ada perubahan tanda, jadi bukan titik belok.
$f''(c)=0$ saja tidak membuat $c$ menjadi titik belok — $f''$ harus benar-benar mengubah tanda di sana. Untuk $y=x^4$, $f''(0)=0$, tetapi $f''\ge0$ di kedua sisinya (tidak ada perubahan tanda), jadi $x=0$ bukan titik belok. Periksa tanda di kedua sisi, jangan hanya menyelesaikan $f''=0$.
Temukan kelengkungan dan titik belok dari $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ untuk $x<0$ (cembung ke bawah); $f''>0$ untuk $x>0$ (cembung ke atas).
- $f''$ mengubah tanda di $x=0$ → titik belok di $(0,0)$.
Kelengkungan ditentukan oleh tanda $f''$: $f''>0$ → cembung ke atas (cangkir), $f''<0$ → cembung ke bawah (topi). Titik belok adalah tempat $f''$ mengubah tanda — kelengkungan berbalik. $f''=0$ adalah kandidat, tetapi Anda harus mengkonfirmasi adanya perubahan tanda.