Mendiferensiasikan Fungsi Trigonometri Invers
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | Fungsi trigonometri invers |
Terbitan yang menyembunyikan punca kuasa dua
- Fungsi trigonometri invers — $\arcsin$, $\arctan$, dan rakan-rakannya — membatalkan sinus, tangent, dll.
- Terbitan mereka adalah mengejutkan algebra: tiada trig sama sekali, hanya kuasa dan punca.
- Dua daripadanya bernilai hafalan terus; yang lain mengikut corak yang sama.
- Fungsi trigonometri invers ini muncul dalam kamiran kemudian, jadi mengetahui terbitan mereka memberikan manfaat berganda.
Dua yang mesti anda tahu
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]=\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Perhatikan: $\arcsin$ mempunyai punca kuasa dua dalam penyebut; $\arctan$ mempunyai $1+x^2$ yang kemas.
- Kedua-duanya sentiasa positif pada domainnya — invers-invers ini meningkat.
Kemiringan lembut arctangent
y = a·tanh(bx) (bentuk seperti arctan)
$\arctan x$ naik paling cepat pada $0$ (kemiringan $1$) dan menjadi datar — turunannya $\tfrac{1}{1+x^2}$ mengecil menuju $0$.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$ memiliki bentuk akar $\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\arctan x]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arctan$ memiliki bentuk bersih $\tfrac{1}{1+x^2}$ (tanpa akar).
Baki keluarga
- $\dfrac{d}{dx}[\arccos x]=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — sama seperti $\arcsin$ tetapi negatif.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arccot}\,x]=-\dfrac{1}{1+x^2}$ — negatif daripada $\arctan$'s.
- $\dfrac{d}{dx}[\text{arcsec}\,x]=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.
- Invers "co-" membawa tanda minus, berdenyut dengan corak trig biasa.
$\dfrac{d}{dx}[\arccos x]$ adalah ____ dari $\dfrac{d}{dx}[\arcsin x]$ (besarannya sama, tandanya berlawanan).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\arccos$ membawa tanda minus.
Pilih semua turunan trigonometri invers yang mengandung akar kuadrat.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\arcsin$, $\arccos$, dan arcsec memiliki akar; $\arctan$ adalah $\tfrac{1}{1+x^2}$ tanpa akar.
Gabungkan menggunakan peraturan rantai
- Dengan peraturan rantai, gantikan $x$ dengan fungsi dalaman $u$ dan darabkan dengan $u'$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+(3x)^2}\cdot 3=\dfrac{3}{1+9x^2}$.
- $\dfrac{d}{dx}[\arcsin(x^2)]=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$.
- Prosedur yang sama seperti mana-mana masalah peraturan rantai: formula luar, kemudian $\times\,u'$.
Untuk $y=\arctan(3x)$, $y'=\dfrac{3}{1+9x^2}$. Temukan $y'$ pada $x=0$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Di $x=0$: $\tfrac{3}{1+0}=3$.
$\dfrac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\dfrac{1}{1+9x^2}$ (tanpa faktor dalam).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan rantai menambahkan turunan dalam $3$: $\tfrac{3}{1+9x^2}$.
Jangan keliru antara dua bentuk: $\arcsin$ menghasilkan $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ (sebuah punca kuasa dua), manakala $\arctan$ menghasilkan $\frac{1}{1+x^2}$ (tiada punca kuasa dua). Dan dengan peraturan rantai, jangan lepaskan terbitan dalaman: $\frac{d}{dx}[\arctan(3x)]=\frac{3}{1+9x^2}$, bukan $\frac{1}{1+9x^2}$.
Turunkan $y=\arctan(x^2)$.
- Luar: $\arctan(u)$ dengan $u=x^2$, menghasilkan $\dfrac{1}{1+u^2}$.
- Terbitan dalaman: $u'=2x$.
- $y'=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x=\dfrac{2x}{1+x^4}$.
Hafalkan $\frac{d}{dx}[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ dan $\frac{d}{dx}[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2}$. Invers "co-" ($\arccos$, arccot) membawa tanda minus. Bagi fungsi trigonometri invers komposit, gunakan peraturan rantai — formula standard kali terbitan dalaman $u'$.