Mendiferensiasikan Fungsi Invers
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi invers |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | Resiprokal |
Kemiringan fungsi dan cerminnya
- Fungsi invers $f^{-1}$ membalikkan $f$: ia memantulkan grafik melintasi garis $y=x$.
- Pemantulan menukar peran rise dan run — jadi membalik kemiringan menjadi terbalik.
- Itu memberikan jalan pintas yang rapi: Anda dapat menemukan turunan invers dari turunan asli.
- Yang terbaik, Anda sering kali tidak memerlukan rumus apa pun untuk $f^{-1}$.
Aturan kebalikan kemiringan
- Pada titik yang sesuai, kemiringan $f$ dan $f^{-1}$ adalah resiprokal.
-
$$\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}$$
- Bacalah sebagai: kemiringan invers pada $x$ adalah $1$ dibagi dengan kemiringan $f$ pada input yang sesuai.
- Input yang sesuai adalah $f^{-1}(x)$ — titik pada $f$ yang memetakan ke $x$.
Turunan dari fungsi invers adalah $\big(f^{-1}\big)'(x)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Satu per turunan asli pada input yang sesuai $f^{-1}(x)$.
Evaluasi tanpa inversi
- Biasanya Anda hanya perlu turunan pada satu titik, dan Anda dapat melewatkan pencarian $f^{-1}$.
- Misalkan $f(2)=5$ dan $f'(2)=3$. Maka titik $(5,2)$ berada pada $f^{-1}$, sehingga $f^{-1}(5)=2$.
- Terapkan aturannya: $\big(f^{-1}\big)'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.
- Anda tidak pernah memerlukan rumus — hanya pasangan yang sesuai dan satu nilai turunan.
Jika $f(2)=5$ dan $f'(2)=4$, temukan $\big(f^{-1}\big)'(5)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f^{-1}(5)=2$, sehingga $\big(f^{-1}\big)'(5)=\tfrac{1}{f'(2)}=\tfrac14$.
Untuk menghitung $\big(f^{-1}\big)'(c)$ pada suatu titik, apa yang Anda butuhkan?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Anda membutuhkan input yang sesuai dan $f'$ di sana (tidak nol, sehingga resiprokal ada) — tidak perlu rumus invers lengkap.
Mengapa resiprokal? Lihat pemantulannya
- Refleksi terhadap $y=x$ mengubah "kenaikan $3$ atas larian $1$" menjadi "kenaikan $1$ atas larian $3$."
- Jadi kecerunan $3$ menjadi kecerunan $\tfrac13$ — benar-benar terbalik.
- Inilah sebabnya mengapa $f$ dan $f^{-1}$ mempunyai kecerunan resiprokal pada titik-titik sepadan.
- (Ia juga memberi amaran: jika $f'=0$ pada satu titik, fungsi inversnya mempunyai tangen menegak di sana — kecerunannya tidak ditakrifkan.)
Kemiringan dan resiproknya
y = x³ + 1
Memantulkan kurva melintasi $y=x$ membalikkan naik dan jalan — kemiringan $3$ menjadi $\tfrac13$ pada invers.
Untuk menemukan $\big(f^{-1}\big)'(5)$, Anda mengevaluasi $f'$ pada $5$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda mengevaluasi $f'$ pada input yang sesuai $f^{-1}(5)$, bukan pada $5$.
Pada titik yang bersesuaian, kemiringan $f$ dan $f^{-1}$ adalah ____ satu sama lain.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pencerminan melintasi $y=x$ membalikkan kemiringan.
Jika $f'(a)=0$ pada input yang sesuai, invers pada titik yang bersesuaian memiliki...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Membagi dengan $0$ tidak terdefinisi — tangen yang dipantulkan adalah vertikal.
Gunakan terbitan $f$ pada input sepadan $f^{-1}(x)$, bukan pada $x$ itu sendiri. Untuk $\big(f^{-1}\big)'(5)$ anda memerlukan $f'$ pada input yang memaparkan ke $5$, iaitu $f'(f^{-1}(5))$, bukan $f'(5)$. Memasukkan $5$ terus ke dalam $f'$ adalah kesilapan klasik.
$f(x)=x^3+1$ mempunyai $f(1)=2$ dan $f'(x)=3x^2$. Cari $\big(f^{-1}\big)'(2)$.
- Input sepadan: $f^{-1}(2)=1$ (kerana $f(1)=2$).
- $f'(1)=3(1)^2=3$.
- $\big(f^{-1}\big)'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{3}$.
Terbitan bagi fungsi invers ialah resiprokal daripada terbitan asal pada titik sepadan: $\big(f^{-1}\big)'(x)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. Refleksi melalui $y=x$ menukar kenaikan dan larian, membalikkan kecerunan. Anda boleh nilainya pada satu titik hanya dengan sepasang sepadan — tiada formula untuk $f^{-1}$ diperlukan.