Diferensiasi Implisit
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Turunan implisit |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | Implisit |
Ketika Anda tidak bisa menyelesaikan untuk $y$
- Lingkaran $x^2+y^2=25$ mendefinisikan $y$ secara implisit — Anda tidak bisa menuliskannya sebagai satu $y=f(x)$ tunggal.
- Namun kurva tersebut masih memiliki kemiringan di setiap titik. Bagaimana kita mendapatkan $\tfrac{dy}{dx}$ tanpa menyelesaikan untuk $y$?
- Triknya: turunkan kedua sisi terhadap $x$, perlakukan $y$ sebagai fungsi tersembunyi dari $x$.
- Ini adalah turunan implisit.
Persamaan seperti $x^2+y^2=25$ mendefinisikan $y$ ____, karena belum diselesaikan untuk $y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itulah sebabnya kita menggunakan diferensiasi implisit.
Setiap suku $y$ memicu aturan rantai
- Karena $y$ secara rahasia bergantung pada $x$, menurunkan suku $y$ memerlukan aturan rantai.
- $\dfrac{d}{dx}[y^2]=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ — tambahan $\tfrac{dy}{dx}$ adalah turunan bagian dalam.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2]=2x$ seperti biasa (tidak ada $y$, tidak ada faktor tambahan).
- Jadi setiap kali Anda menurunkan suku yang mengandung $y$, tambahkan $\tfrac{dy}{dx}$.
Mendiferensiasikan terhadap $x$, $\dfrac{d}{dx}[y^2]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan rantai: $2y$ dikali turunan dalam $\tfrac{dy}{dx}$.
Selesaikan untuk $\tfrac{dy}{dx}$
- Setelah menurunkan, Anda mendapatkan persamaan dengan $\tfrac{dy}{dx}$ yang tersebar di mana-mana.
- Kumpulkan semua suku $\tfrac{dy}{dx}$ di satu sisi, segalanya di sisi lainnya.
- Faktorkan keluar $\tfrac{dy}{dx}$ dan bagi untuk mengisolasi nilainya.
- Hasilnya biasanya bergantung pada keduanya $x$ dan $y$ — itu wajar untuk sebuah kurva.
Kemiringan tangen pada kurva
y = √(25 − x²) (setengah lingkaran atas)
Bahkan kurva yang tidak bisa diselesaikan untuk $y$ memiliki tangen di setiap titik — diferensiasi implisit menemukan kemiringan tersebut.
Urutkan langkah-langkah diferensiasi implisit.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Diferensiasikan, kumpulkan, selesaikan, lalu evaluasi.
Evaluasi pada suatu titik
- Untuk mendapatkan kemiringan aktual, masukkan titik $(x,y)$ pada kurva ke dalam rumus $\tfrac{dy}{dx}$ Anda.
- Untuk $x^2+y^2=25$: menurunkan menghasilkan $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0$, sehingga $\tfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$.
- Pada $(3,4)$: kemiringan $=-\tfrac34$. Pada $(3,-4)$: kemiringan $=+\tfrac34$.
- $x$ yang sama dapat memberikan kemiringan berbeda — karena kurva memiliki dua cabang $y$.
Untuk $x^2+y^2=25$, $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$. Temukan kemiringan di $(3,4)$ (desimal).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$-\tfrac{3}{4}=-0.75$.
Faktor $\tfrac{dy}{dx}$ ditambahkan ke setiap suku, termasuk suku murni $x$ seperti $x^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya suku-suku yang mengandung $y$ yang mendapatkan faktor $\tfrac{dy}{dx}$.
Mendiferensiasikan $xy$ terhadap $x$ menghasilkan...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Aturan perkalian: $\frac{d}{dx}[xy]=1\cdot y+x\cdot\tfrac{dy}{dx}$.
Faktor aturan rantai $\tfrac{dy}{dx}$ muncul hanya pada suku yang mengandung $y$. $\frac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ (tanpa faktor), tetapi $\frac{d}{dx}[y^3]=3y^2\tfrac{dy}{dx}$. Melupakan $\tfrac{dy}{dx}$ pada suku-suku $y$ adalah kesalahan utama diferensiasi implisit. Dan perkalian seperti $xy$ memerlukan aturan perkalian: $\frac{d}{dx}[xy]=y+x\tfrac{dy}{dx}$.
Temukan $\tfrac{dy}{dx}$ untuk $x^2+y^2=25$ pada titik $(3,4)$.
- Belakan: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$.
- Selesaikan: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x}{2y}=-\dfrac{x}{y}$.
- Pada $(3,4)$: $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$ — kemiringan tangen di sana.
Turunan implisit: turunkan kedua sisi terhadap $x$, perlakukan $y$ sebagai fungsi dari $x$ sehingga setiap suku $y$ mendapatkan $\tfrac{dy}{dx}$ (aturan rantai); kemudian kumpulkan, faktorkan, dan selesaikan untuk $\tfrac{dy}{dx}$. Masukkan titik pada kurva untuk mendapatkan kemiringan. Jawabannya biasanya bergantung pada kedua $x$ dan $y$.