Aturan Rantai
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi komposit |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | Aturan Rantai |
| outer/ˈaʊtə/ | Luaran |
| inner/ˈɪnə/ | Masukan |
Fungsi di dalam fungsi
- Apa turunan dari $(3x+1)^{5}$? Itu adalah pangkat dari sebuah fungsi — sebuah fungsi komposit.
- Membukanya akan sangat menyiksa. Ada aturan yang dibangun khusus untuk ini: Aturan Rantai.
- Komposit adalah "fungsi luar yang membungkus fungsi dalam," seperti $f(g(x))$.
- Aturan Rantai menurunkan lapisan satu per satu dan mengalikannya.
Aturannya
- Untuk $y=f(g(x))$:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- Dengan kata: turunan fungsi luar (membiarkan fungsi dalam tetap utuh) dikali turunan fungsi dalam.
- "$\cdot\, g'(x)$" kecil itu adalah bagian yang sering dilupakan orang — itulah inti utamanya.
Kurva komposit
y = ax² + bx + c
Sebuah komposit seperti $(3x+1)^2$ lebih curam daripada garis dalamnya saja — aturan rantai mengalikan laju bagian dalamnya.
Aturan Rantai memberikan $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Turunan luar di bagian dalam, dikali turunan dalam.
Kenali fungsi luar dan dalam
- Sebelum menurunkan, sebut nama fungsi luar dan dalam.
- Dalam $(3x+1)^5$: luar adalah "(sesuatu)$^5$", dalam adalah $3x+1$.
- Turunan luar: $5(3x+1)^4$. Turunan dalam: $3$.
- Kalikan: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
Untuk $y=(2x+1)^3$, cari $y'$ di $x=0$. (Aturan rantai: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y'=6(2x+1)^2$; di $0$: $6(1)=6$.
Untuk $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, pilih semua identifikasi yang benar.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Akar kuadrat adalah bagian luar; $x^2+1$ adalah bagian dalam dengan turunan $2x$.
Menggabungkan dengan aturan lain
- Aturan Rantai dapat digabungkan dengan segalanya: pangkat, perkalian, hasil bagi, dan turunan dasar.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — luar $\sin$, dalam $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- Untuk fungsi yang terselip dalam, kupas satu lapis per kali, kalikan setiap turunan dalam saat Anda melakukannya.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Luar $\cos(x^2)$ dikali turunan dalam $2x$.
Faktor yang paling sering dilupakan dalam aturan rantai adalah turunan ____ $g'(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Anda harus mengalikan dengan $g'(x)$ setelah menurunkan bagian luar.
Berapakah $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Luar $e^{3x}$ dikali turunan dalam $3$.
Jangan pernah lupa mengalikan dengan turunan dalam $g'(x)$. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$ adalah $\cos(x^2)\cdot 2x$, bukan hanya $\cos(x^2)$. Melewatkan "$\cdot\,g'(x)$" adalah kesalahan kalkulus paling umum — turunan luar saja hanya setengah jawaban.
Turunkan $y=\sqrt{x^2+1}$.
- Tulis ulang: $y=(x^2+1)^{1/2}$. Luar: $(\ )^{1/2}$; dalam: $x^2+1$.
- Turunan luar: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. Turunan dalam: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Aturan Rantai menurunkan fungsi komposit: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — turunan luar (dalam tidak berubah) dikali turunan dalam. Identifikasi lapisannya terlebih dahulu, dan jangan pernah hilangkan faktor $\cdot\,g'(x)$. Ini digabungkan dengan semua aturan lain untuk ekspresi bersarang.