Menghapus Ketidaklanjutan
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | Fungsi sepotong-sepotong |
Menambal lubang
- Ketidakkontinuan yang dapat dihilangkan adalah lubang di mana limit ada tetapi nilainya salah atau hilang.
- Karena limit merupakan angka yang sempurna, Anda dapat mendefinisikan ulang fungsi pada satu titik itu untuk mengisi lubangnya.
- Tetapkan nilai titik sama dengan limit — kurva kini mengalir dengan mulus.
- Ini adalah memperbaiki kontinuitas: mungkin hanya untuk tipe yang dapat dihilangkan.
Kurva di balik lubang
y = x + 3
Fungsi yang dibatalkan $y=x+3$ adalah garis lurus — mengisi lubang hanya memplot titik yang dilalui garis tersebut.
Memecahkan konstanta misteri
- Seringkali fungsi sepotong-sepotong memiliki konstanta tak diketahui $k$, dan Anda harus memilih $k$ agar menjadi kontinu.
- Aturannya adalah kondisi (3): buat limit sama dengan nilai pada sambungan.
- Samakan dua potongan di titik menyambung dan selesaikan untuk $k$.
- Satu persamaan, satu variabel — aljabar bersih.
Agar fungsi sepotong-sepotong (piecewise) kontinu pada sambungannya, samakan limit dengan nilai fungsi ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu adalah syarat kontinuitas (3): nilai limit $=$.
Pola yang diselesaikan
- Misalkan $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ harus kontinu pada $x=2$.
- Limit kiri: $2+k$. Nilai kanan: $3(2)-1=5$.
- Kontinuitas memerlukan $2+k=5$, jadi $k=3$.
- Dengan $k=3$, kedua potongan bertemu persis — tidak ada lompatan, fungsi kontinu.
Agar $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$ berkelanjutan pada $x=2$, temukan $k$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Set bagian-bagian sama pada $2$: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
Ketahuilah apa yang tidak dapat diperbaiki
- Hanya lubang yang dapat dihilangkan yang dapat diperbaiki — limit harus sudah ada.
- Lompatan (limit satu sisi tidak sama) memiliki celah lebar nyata: tidak ada definisi ulang tunggal yang menutupnya.
- Ketidakkontinuan tak hingga meledak: tidak ada nilai yang menundukkan asimtot.
- Jadi pertama-tama klasifikasikan; jika limit dua sisi hilang, ketidakkontinuan bersifat permanen.
Ketidaklanjutan mana yang dapat dihilangkan dengan mendefinisikan ulang satu titik?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hanya jenis yang dapat dihilangkan yang memiliki limit dua sisi untuk dicocokkan; lompatan dan ledakan tidak dapat diperbaiki.
Mendefinisikan ulang $f(c)$ dapat menciptakan limit dua sisi yang sebelumnya tidak ada.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Sebuah titik tunggal tidak mempengaruhi limit; jika kedua sisinya berbeda, mendefinisikan ulang tidak mengubah apa pun.
Pilih semua ketidakkontinuian yang tidak dapat dihilangkan.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Apa pun tanpa limit dua sisi bersifat permanen; hanya lubang yang dapat dihilangkan yang dapat diisi.
Anda hanya dapat "menghilangkan" ketidakkontinuan di mana limit dua sisi sudah ada. Jika limit kiri dan kanan berbeda, menetapkan $f(c)$ ke angka berapa pun masih meninggalkan perbedaan sisi — fungsi tetap tidak kontinu. Mendefinisikan ulang sebuah titik tidak pernah menciptakan limit yang tidak ada sebelumnya.
Untuk menghilangkan lubang $\dfrac{x^2-25}{x-5}$ pada $x=5$, definisikan $f(5)$ sama dengan limit. Berapa nilainya?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Limit $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, jadi $f(5)=10$.
Temukan $c$ agar $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$ kontinu pada $x=3$.
- Limit: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- Kontinuitas memerlukan $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$.
- Menetapkan $c=6$ mengisi lubang; $f$ kini kontinu pada $3$.
Ketidaklanjutan yang dapat dihilangkan diperbaiki dengan mendefinisikan ulang $f(c)$ agar sama dengan (limit yang) ada. Untuk fungsi sepotong-sepotong dengan konstanta tak diketahui, samakan bagian-bagiannya pada titik sambungan — limit $=$ nilai — dan selesaikan. Ketidaklanjutan loncatan dan tak hingga tidak memiliki limit dua sisi, sehingga mereka tidak dapat dihilangkan.