Menghubungkan Limit Tak Hingga dan Asimtot Vertikal
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | Limit tak hingga |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | Asimtot vertikal |
Ketika output melarikan diri ke tak hingga
- Terkadang saat $x\to c$ fungsi tidak stabil pada satu angka — ia tumbuh tanpa batas.
- Kita menuliskan $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ (atau $-\infty$) untuk menggambarkan perilaku melarikan diri ini.
- Ini adalah limit tak hingga. Hati-hati: "$=\infty$" adalah deskripsi, bukan nilai nyata — secara teknis limitnya tidak ada sebagai bilangan finite.
- Hal ini terjadi ketika penyebut mengecil menuju nol sementara pembilang tetap menjauh dari nol.
Menulis $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ berarti limit ada sebagai bilangan finite.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ini adalah singkatan untuk pertumbuhan tak terbatas; sebagai bilangan finite, limit tidak ada.
Bacalah setiap sisi secara terpisah
- Dekat ledakan, kedua sisi sering berperilaku berbeda, jadi gunakan satu-sisi limit tak hingga.
- Untuk $f(x)=\dfrac1{x-2}$: saat $x\to2^-$ penyebut adalah negatif kecil, maka $f\to-\infty$.
- Saat $x\to2^+$ penyebut adalah positif kecil, maka $f\to+\infty$.
- Tanda penyebut yang mengecil menentukan ke mana setiap sisi melesat.
Lihat saat ia memanjat asimtot tersebut
y = a / (x − b)
Saat $x$ mendekati $b$, kebalikannya melonjak ke $+\infty$ dari satu sisi dan $-\infty$ dari sisi lain — garis $x=b$ adalah asimtot vertikal.
Untuk $f(x)=\dfrac1{x-2}$, berapakah $\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tepat di kiri $2$, $x-2$ bernilai negatif kecil, sehingga $\frac{1}{\text{tiny}^-}\to-\infty$.
Mengidentifikasi asimtot vertikal
- Asimtot vertikal adalah garis $x=c$ yang grafik dekatinya saat meluncur ke $\pm\infty$.
- Untuk fungsi rasional, lihat di mana penyebut bernilai nol tetapi pembilang bukan nol.
- $\dfrac{x+1}{x-2}$: penyebut nol di $x=2$, pembilang $=3\neq0$ di sana → asimtot vertikal $x=2$.
- (Jika keduanya nol, faktorkan terlebih dahulu — mungkin itu lubang yang dapat dihilangkan.)
Pada nilai $x$ berapakah $f(x)=\dfrac{x+1}{x-4}$ memiliki asimtot vertikal?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Penyebut nol di $x=4$, pembilang $=5\neq0$ → asimtot $x=4$.
Untuk $\dfrac{x^2-9}{x-3}$ pada $x=3$, baik pembilang maupun penyebut adalah nol. Ini adalah...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Keduanya nol berarti bisa dicoret: $x+3\to6$. Ini adalah lubang yang dapat dihilangkan, bukan asimtot.
Garis $x=c$ yang didekati grafik saat melesat ke $\pm\infty$ adalah ____ vertikal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Garis ini menandai ketidakkontinuian tak hingga.
Limit tak hingga ⇄ Asimtot
- Fakta grafik dan fakta limit adalah dua pandangan dari hal yang sama.
- "$\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$" adalah kurva yang naik mendekati asimtot $x=2$ dari sisi kanan.
- Jadi limit tak hingga di $c$ menjamin asimtot vertikal di $x=c$, dan sebaliknya.
- Deskripsikan keduanya: limit tak hingga satu-sisi dan garis asimtot.
Fungsi rasional memiliki asimtot vertikal di $x=c$ ketika yang mana benar?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Penyebut nol, pembilang tidak nol → ledakan. Jika pembilang juga nol, mungkin itu adalah lubang yang dapat dihilangkan.
Menulis $\lim_{x\to c}f(x)=\infty$ tidak berarti limit ada sebagai angka — itu adalah singkatan untuk "tumbuh tanpa batas." Dan penyebut nol saja tidak otomatis menjadi asimtot: jika pembilang juga nol di sana, coretkan terlebih dahulu — Anda mungkin menemukan lubang yang dapat dihilalkan, bukan ledakan.
Analisis $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ dekat $x=2$.
- $x\to2^-$: penyebut $\to0^-$, maka $f\to-\infty$.
- $x\to2^+$: penyebut $\to0^+$, maka $f\to+\infty$.
- Pembilang $1\neq0$, maka $x=2$ adalah asimtot vertikal.
- Limit dua sisi tidak ada (sisi-sisinya bergerak berlawanan arah).
Sebuah limit tak hingga $\lim_{x\to c}f(x)=\pm\infty$ menggambarkan fungsi yang tumbuh tanpa batas saat $x\to c$ — sebuah singkatan, bukan nilai finite. Bacalah setiap sisi secara terpisah (tanda penyebut yang mengecil menetapkan arah). Di mana penyebut fungsi rasional bernilai nol tetapi pembilangnya tidak, terdapat asimtot vertikal $x=c$.