Variabel acak kontinu (Lanjutan)
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | variabel kontinu |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | fungsi kepadatan peluang |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | ekspektasi |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | fungsi distribusi kumulatif |
| median/ˈmiːdiːən/ | median |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | persentil |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | kuartil |
Probabilitas sebagai luas
- Untuk variabel kontinu — seperti tinggi, waktu tunggu — tidak ada satu nilai pasti yang memiliki probabilitas; ada tak hingga banyak.
- Sebaliknya, probabilitas adalah luas di bawah kurva, fungsi kepadatan probabilitas $f(x)$. Total luasnya adalah $1$.
Fungsi kepadatan dan harapan
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, dan total luas $\int f = 1$.
- Rata-rata dari sembarang fungsi $X$:
Probabilitas adalah luas di bawah f(x); total luas atas seluruh rentang adalah tepat 1.
Variabel acak kontinu
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
Untuk variabel kontinu, probabilitas adalah luas di bawah kurva densitas.
Berapakah total luas di bawah fungsi densitas probabilitas harus sama dengan?
Fungsi pdf terintegrasi menjadi 1 atas seluruh rentangnya.
Fungsi distribusi kumulatif
- CDF mengakumulasi probabilitas dari kiri:
- Ia berjalan dari $0$ ke $1$, dan menurunkan kembali kepadatan: $f(x) = F'(x)$.
CDF $F(x)$ naik dari 0 ke 1; median dibaca pada saat mencapai tinggi 0.5
Fungsi distribusi kumulatif F(x) memberikan:
F(x) = P(X ≤ x), luas terkumpul hingga x.
Mendiferensialkan CDF menghasilkan densitas: f(x) = F-______(x).
f(x) = F′(x): densitas adalah turunan dari CDF.
Contoh terpecahkan — nilai tengah
- Nilai tengah $m$ membagi luas menjadi dua bagian sama: $F(m) = 0.5$.
- Untuk $f(x) = \tfrac12 x$ pada $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, sehingga $\tfrac14 m^2 = 0.5$ menghasilkan $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Persentil bekerja dengan cara yang sama. Kuartal bawah menyelesaikan $F(x) = 0.25$; persentil ke-90 menyelesaikan $F(x) = 0.9$. Selalu setel $F$ sama dengan pecahan yang Anda inginkan.
Untuk f(x) = ½x pada [0,2], F(x) = ¼x². Median memenuhi ¼m² = 0.5. Berapakah m? (2 dp)
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
Median m dari distribusi kontinu memenuhi:
Median membagi luas menjadi setengah: F(m) = 0.5.
Kepadatan bukan probabilitas
$f(x)$ bisa melebihi 1. Kepadatan bukanlah probabilitas — hanya luasnya saja. Puncak tinggi sempit dapat memiliki $f(x) > 1$ selama total luas tetap $1$.
- Gunakan fungsi distribusi kumulatif (CDF) untuk menemukan probabilitas dan persentil, serta CDF dari variabel terkait.
Fungsi densitas probabilitas f(x) bisa lebih besar dari 1.
Hanya luas yang harus ≤ 1; densitas itu sendiri bisa melebihi 1 pada interval sempit.
Anda telah memahaminya
- probabilitas = luas di bawah $f(x)$; total luas $= 1$ (kepadatan sendiri bisa melebihi 1)
- CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, dan $f = F'$
- nilai tengah menyelesaikan $F(m) = 0.5$; persentil menyelesaikan $F(x) =$ pecahan tersebut