Koordinat polar

Sistem koordinat yang menyederhanakan lingkaran

• Mendeskripsikan spiral atau lingkaran dalam koordinat Kartesius memerlukan persamaan yang rumit. Dalam koordinat polar, sebuah lingkaran hanyalah $r = \text{constant}$.
• Koordinat polar alami untuk segala sesuatu yang memiliki simetri rotasi — dari orbit planet hingga layar radar.

Koordinat polar

• Koordinat polar memberikan titik dengan jarak $r$ dari titik asal dan sudut $\theta$.
• Tautan ke Kartesius:

Koordinat polar $(r,\theta)$ dikonversi ke Kartesius oleh $x=r\cos\theta$ dan $y=r\sin\theta$

Tangga spiral: spiral digambarkan secara alami dalam koordinat polar (r, theta)

Kurva polar

• Kurva polar umum:

r = 4cos θ adalah lingkaran berjari-jari 2 dengan pusat di (2, 0) — bentuk polar membuatnya menjadi persamaan satu baris.

• $r = a$ — lingkaran dengan jari-jari $a$ yang berpusat di titik asal.
• $r = a\cos\theta$ — lingkaran dengan jari-jari $\dfrac{a}{2}$ yang berpusat di $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
• $r = a(1 + \cos\theta)$ — kardioid (bentuk hati).

Luas polar

• Luas sektor: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.

Kardioid r = 1 + cos theta, kurva yang digambar langsung dalam bentuk polar

Mengubah kurva

• Contoh: $r = 4\cos\theta$ → kalikan dengan $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, lingkaran berjari-jari $2$.

Anda telah memahaminya