Vektor (Pure Further 1)
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | bidang |
| skew/skjuː/ | skew |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | perkalian vektor |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | vektor normal |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | tegak lurus |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | jajar genjang |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | anti-komutatif |
Matematika ruang 3D
- Bagaimana Anda menemukan jarak dari titik ke bidang? Sudut antara dua permukaan? Jalur terpendek antara dua garis miring?
- Bidang dan perkalian vektor memberikan alat untuk menyelesaikan semua masalah ini — penting untuk teknik, arsitektur, dan grafis komputer.
Persamaan bidang
- Bidang dapat ditulis dalam beberapa bentuk:
Vektor normal n tegak lurus terhadap bidang; bentuk hasil kali skalar adalah n·r = d.
- Kartesius: $ax + by + cz = d$
- Vektor: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (di mana $\mathbf{n}$ adalah vektor normal)
- Parametrik: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
Contoh terpecahkan. Bidang memiliki normal $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ dan melalui $(1, 0, 2)$. Persamaan: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
Vektor
a · b = |a||b|cos θ
Perkalian titik adalah nol tepat ketika dua vektor tegak lurus.
Perkalian skalar dan vektor dapat mencari jarak terpendek antara dua garis skew.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perkalian ini memungkinkan Anda menghitung jarak, sudut, dan irisan dalam 3D, termasuk jarak garis skew.
Sebuah bidang memiliki persamaan 2x − y + 3z = 8. Vektor normal memiliki komponen (2, −1, ?). Temukan komponen yang hilang.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Koefisien x, y, z dalam ax + by + cz = d memberikan vektor normal (a, b, c) = (2, −1, 3).
Perkalian vektor (silang)
- Perkalian vektor $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap keduanya.
- Panjangnya sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$.
Urutan penting. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. Perkalian vektor bersifat anti-komutatif — menukar urutan membalikkan arah.
Gaya seperti angin dan air adalah vektor, dengan besar dan arah
Perkalian vektor a × b menghasilkan vektor yang:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a × b tegak lurus terhadap kedua vektor; panjangnya adalah |a||b|sin θ.
Magnitudo |a × b| sama dengan:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = |a||b|sin θ, yang merupakan luas jajar genjang.
Perkalian vektor bersifat komutatif: a × b = b × a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perkalian vektor bersifat antikomutatif: a × b = −(b × a). Menukar urutan membalikkan arah.
Jika |a| = 3, |b| = 4, dan sudut di antara mereka adalah 30°, |a × b| = |a||b|sin θ. Temukan nilainya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6.
Aplikasi
- Dengan hasil kali skalar dan vektor: jarak, sudut, pertemuan garis dan bidang, serta jarak terpendek antar garis miring.
- Jarak dari titik ke bidang: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
Perkalian vektor tegak lurus terhadap kedua vektor; panjangnya adalah luas jajar genjang
Menemukan vektor normal
- Normal dari bidang yang memuat dua vektor $\mathbf{b}$ dan $\mathbf{c}$ adalah $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- Ini adalah cara tercepat untuk menemukan persamaan Kartesius dari bentuk parametrik.
Anda telah memahaminya
- bidang: $ax + by + cz = d$ atau $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- perkalian vektor $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ tegak lurus terhadap keduanya; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = luas jajar genjang
- gunakan untuk jarak, sudut, irisan, dan jarak garis miring