Matriks
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | matriks |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformasi |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriks identitas |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinan |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | invers |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | singular |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | invarian |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | pembesaran |
Matematika yang menggerakkan grafik komputer
- Setiap kali Anda memutar gambar di ponsel Anda, perkalian matriks sedang melakukan pekerjaan di balik layar.
- Matriks adalah bahasa transformasi — mereka mendeskripsikan rotasi, refleksi, peregangan, dan proyeksi dalam satu objek ringkas.
Dasar-dasar matriks
- Matriks adalah blok angka persegi panjang. Kalikan baris × kolom.
- Matriks identitas $I$ meninggalkan matriks tidak berubah: $AI = IA = A$.
Contoh Terpecahkan. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Matriks
(x', y') = M(x, y)
Sebuah matriks mengubah bidang; determinannya adalah faktor skala luas (negatif = pentalikan).
Kalikan [[1, 2], [3, 4]] dengan [[5], [6]]. Entri atas dari hasilnya adalah?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
Susun langkah-langkah untuk menemukan invers dari matriks 2x2 [[a,b],[c,d]] secara berurutan.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Inversnya adalah (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — tukar diagonal, negasikan off-diagonal, bagi dengan det.
Determinan dan invers
- Untuk $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: determinan adalah $\det A = ad - bc$.
- Jika $\det A \neq 0$ (non-singular), invers adalah $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Matriks singular tidak memiliki invers. Jika $\det A = 0$, matriks tersebut singular — ia meratakan bidang menjadi garis, kehilangan informasi yang tidak dapat dipulihkan.
Berapakah determinan matriks [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
Matriks 2×2 memiliki invers tepat ketika determinannya:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Matriks nonsingular (det ≠ 0) dapat dibalik; det = 0 berarti singular (tanpa invers).
Untuk A = [[3, 1], [2, 4]] dengan det = 10, entri kiri atas dari A⁻¹ adalah d/det. Temukan nilainya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Kiri atas = 4/10 = 0.4.
Matriks sebagai transformasi
- Matriks $2\times2$ merepresentasikan transformasi bidang; $\det A$ = faktor skala luas.
Matriks 2x2 memetakan kotak satuan ke jajar genjang; determinannya adalah faktor skala luas.
- Produk $AB$ berarti "lakukan $B$, lalu $A$". Titik/garis yang tidak bergerak adalah invarian.
Untuk matriks transformasi, determinan memberikan:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Determinan adalah faktor yang bagaimana luas-skala oleh transformasi.
Untuk matriks A dan B, perkalian AB berarti "lakukan B terlebih dahulu, lalu A".
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Perkalian matriks diterapkan dari kanan ke kiri: AB(x) = A(B(x)), jadi B bertindak lebih dulu.
Transformasi umum
| Matriks | Transformasi |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Refleksi di sumbu $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Perbesaran faktor skala $k$ |
- Pahami penjumlahan matriks, matriks nol, matriks identitas (atau unit), serta titik invarian dan garis invarian dari sebuah transformasi.
Anda telah memahaminya
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; dapat dibalik ketika $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- matriks adalah transformasi; $\det$ = faktor skala luas; $AB$ = "lakukan $B$, lalu $A$"