Penjumlahan deret
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | penjumlahan |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | metode selisih |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | teleskop |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | konvergen |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | jumlah tak hingga |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | pecahan parsial |
Jumlah yang diselesaikan Gauss pada usia 10
- Guru Gauss muda memberikan tugas kepada kelas untuk menjumlahkan $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, dengan ekspektasi kerja selama satu jam. Gauss melihat pola tersebut seketika: pasangkan yang pertama dan terakhir ($1 + 100 = 101$), kedua dan kedua dari belakang ($2 + 99 = 101$), dan seterusnya — 50 pasangan × 101 = 5050.
- Rumus penjumlahan mengubah penjumlahan panjang menjadi aljabar sederhana.
Hasil penjumlahan standar
Contoh Terpecahkan. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
Menjumlahkan 1 hingga n dengan memasangkan ujung-ujungnya: totalnya adalah n(n+1)/2
Penjumlahan deret
Sₙ = Σ uₖ
Jabarkan suku satu per satu — jumlah parsial mendekati limitnya.
Menggunakan Σr = ½n(n+1), berapakah jumlah 5 bilangan bulat pertama?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
Menggunakan Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), berapakah jumlah 3 kuadrat pertama?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
Menggunakan Σr³ = ¼n²(n+1)², berapakah jumlah 3 pangkat tiga pertama?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). Catatan: 36 = 6² = (1+2+3)².
Lengkapi hasil standar: Σr (dari 1 hingga n) = ______ n(n+1).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Jumlah n bilangan bulat pertama adalah ½n(n+1).
Memecah penjumlahan
- Pecah penjumlahan menjadi bagian-bagian standar:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. Identitas indah ini berarti jumlah kubus sama dengan kuadrat dari jumlah $n$ bilangan bulat pertama. Mudah diverifikasi: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) dari r=1 hingga n = n(n+2). Untuk n=4, temukan jumlah tersebut.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4 × 6 = 24. Cek: 3+5+7+9 = 24.
Metode selisih
- Jika setiap suku adalah $f(r) - f(r+1)$, hampir semuanya saling menghilangkan (teleskop).
- Dari penjumlahan hingga $n$ suku Anda dapat melihat apakah deret konvergen dan menemukan jumlah tak terhingganya.
Dalam metode selisih, jika setiap suku adalah f(r) − f(r+1), sebagian besar suku saling menghilangkan (telescope).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Suku berturut-turut saling menghilangkan, menyisakan hanya bagian pertama dan terakhir.
Σ 1/(r(r+1)) dari r=1 hingga ∞ terkontraksi menjadi 1 − 1/(n+1). Saat n→∞, jumlah tak terhingga adalah?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Saat n→∞, 1/(n+1)→0, sehingga jumlahnya mendekati 1.
Contoh terpecahkan — metode selisih
- Temukan $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- Pecahan parsial: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- Penjumlahan teleskopik: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- Saat $n \to \infty$: jumlah tak terhingga $= 1$.
- Sebuah deret konvergen ketika jumlah sampai $n$ suku mendekati suatu limit.
Anda telah memahaminya
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- pecahkan penjumlahan menjadi bagian-bagian standar
- metode selisih teleskopik $f(r) - f(r+1)$