Fungsi rasional dan grafiknya
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot tegak |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | asimtot miring |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | penyebut |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fungsi rasional |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | sisa |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | hasil bagi |
Grafik yang melanggar aturan
- Mayoritas fungsi yang pernah Anda temui adalah polinomial — halus, kontinu, didefinisikan di mana saja. Namun bagi satu polinomial dengan polinomial lain dan Anda akan mendapatkan sesuatu yang lebih liar: asimtot vertikal, asimtot miring, dan perilaku yang berubah drastis di dekat nol penyebut.
- Fungsi rasional adalah pintu masuk untuk memahami kurva yang lebih kompleks.
Apa itu fungsi rasional?
- Fungsi rasional adalah pecahan dari dua polinomial: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- Nol penyebut memberikan asimtot vertikal (di mana fungsi melonjak ke $\pm\infty$).
Contoh terpecahkan. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. Asimtot vertikal di $x = 2$. Pembagian: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. Asimtot miringnya adalah $y = x + 2$.
Fungsi rasional
y = a/(x − b) + c
Fungsi rasional memiliki asimtot yang didekati kurva tetapi tidak pernah disentuh.
Fungsi rasional adalah pecahan dari dua polinomial.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Itu definisinya — satu polinomial di atas polinomial lain.
Asimtot miring (slant)
- Ketika bagian atas memiliki derajat lebih tinggi daripada bagian bawah, grafik memiliki asimtot miring (slant) — temukan dengan pembagian polinomial panjang.
- Sisa hilang saat $x \to \infty$, meninggalkan hasil bagi sebagai asimtot.
Kurva ini mendekati asimtot vertikal x = 2 dan asimtot miring y = x + 2 jauh dari titik asal.
Jangan lupa sisa hasil bagi. Saat pembagian, fungsi sama dengan hasil bagi ditambah sisa hasil bagi dibagi pembagi. Asimtot hanyalah hasil bagi — sisa hasil bagi memberi tahu Anda dari sisi mana kurva mendekati asimtot tersebut.
Fungsi rasional memiliki asimtot miring (slant) ketika derajat pembilang:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Ketika derajat pembilang melebihi penyebut, pembagian menyisakan garis miring yang didekati kurva.
Anda menemukan asimtot miring dengan:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Pembagian polinomial memberikan bagian garis lurus yang didekati kurva menjauhi titik asal.
Untuk f(x) = (x²−1)/(x−2), bagi untuk mendapatkan f(x) = x + 2 + 3/(x−2). Asimtot miringnya adalah y = x + ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hasil baginya adalah x + 2, jadi asimtot miringnya adalah y = x + 2.
Grafik terkait
- Anda harus menghubungkan $y = f(x)$ ke:
- $y^2 = f(x)$ — hanya ada di mana $f(x) \geq 0$, simetris terhadap sumbu $x$.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — nol menjadi asimtot, asimtot menjadi nol.
- $y = |f(x)|$ - memantulkan bagian negatif ke atas sumbu $x$.
- $y = f(|x|)$ - memantulkan separuh kanan ke kiri.
Untuk y = 1/f(x), nol-nol f(x) menjadi asimtot vertikal.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Di mana f(x) = 0, 1/f(x) tidak terdefinisi — menghasilkan asimtot vertikal.
Grafik y = |f(x)| diperoleh dari y = f(x) dengan:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nilai mutlak memantulkan bagian grafik di bawah sumbu x ke atasnya.
Contoh terpecahkan — menggambar $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- Jika $f(x) = x^2 - 4$ (akar-akar di $\pm 2$, minimum di $(0, -4)$):
- $\dfrac{1}{f(x)}$ memiliki asimtot vertikal di $x = \pm 2$.
- Minimum $f$ di $-4$ menjadi maksimum lokal $\dfrac{1}{f}$ di $-\dfrac{1}{4}$.
- Temukan himpunan nilai yang diambil fungsi rasional menggunakan diskriminan, dan titik beloknya.
Anda telah memahaminya
- Fungsi rasional = polinomial ÷ polinomial
- derajat atas > derajat bawah → asimtot miring (ditemukan melalui pembagian)
- pelajari grafik terkait: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$