Akar persamaan polinomial
Diperkenalkan| English | Makna |
|---|---|
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | kuadratik |
| root/ruːt/ | akar |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | koefisien |
| cubic/ˈkjuːbɪk/ | kubik |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substitusi |
Rahasia yang tersembunyi dalam setiap persamaan
- Setiap persamaan kuadrat menyembunyikan dua angka — akar-akarnya. Anda dapat menemukan jumlah dan hasil kalinya tanpa menyelesaikan persamaan sama sekali.
- Hubungan antara akar dan koefisien ini membuka masalah yang sebelumnya memerlukan aljabar yang rumit.
Akar persamaan kuadrat
- Untuk $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $\alpha, \beta$:
Contoh terpecahkan. $2x^2 - 7x + 3 = 0$. Jumlah akar $= \dfrac{7}{2}$, hasil kali $= \dfrac{3}{2}$. Cek: akarnya adalah $3$ dan $\dfrac{1}{2}$: jumlah $= 3.5$ ✓, hasil kali $= 1.5$ ✓.
Akar persamaan kuadrat dan hubungannya dengan koefisiennya
Akar polinomial
y = ax³ + bx² + cx + d
Akar adalah tempat kurva bertemu sumbu x — jumlah dan perkaliannya berkaitan dengan koefisien.
Untuk x² − 5x + 6 = 0, berapakah jumlah akar α + β = −b/a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
α + β = −b/a = −(−5)/1 = 5.
Untuk x² − 5x + 6 = 0, berapakah hasil kali αβ = c/a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
αβ = c/a = 6/1 = 6.
Akar persamaan kubik
- Untuk persamaan kubik $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ dengan akar $\alpha, \beta, \gamma$:
- $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$.
Hati-hati tandanya. Jumlah akar adalah $-\dfrac{b}{a}$ (negatif), dan hasil kali tiga akar adalah $-\dfrac{d}{a}$ (juga negatif). Kesalahan tanda adalah kesalahan paling umum.
Untuk x³ − 6x² + 11x − 6 = 0, jumlah akar Σα = −b/a. Temukan nilainya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Σα = −(−6)/1 = 6. (Akar-akarnya adalah 1, 2, 3: jumlah = 6.)
Untuk ax³ + bx² + cx + d = 0, hasil kali akar αβγ = d/a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Hasil kali tiga akar adalah αβγ = −d/a (negatif), bukan d/a.
Cocokkan setiap hubungan akar dengan rumusnya (koefisien utama a).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Kuadrat: α+β = −b/a, αβ = c/a. Kubik: Σα = −b/a, αβγ = −d/a (tanda berganti sesuai derajat).
Mengubah akar
- Untuk mencari persamaan yang akarnya berubah secara sederhana, gunakan substitusi (mis. $w = \alpha + 1$).
- Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ($\alpha+\beta=5$, $\alpha\beta=6$) → akar $\alpha+1,\beta+1$ memberikan jumlah $7$, hasil kali $12$, sehingga $x^2 - 7x + 12 = 0$.
Dengan α + β = 5 dan αβ = 6, berapakah hasil kali (α+1)(β+1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+1)(β+1) = αβ + α + β + 1 = 6 + 5 + 1 = 12.
Contoh terpecahkan — menemukan $\alpha^2 + \beta^2$
- Diketahui $x^2 - 5x + 6 = 0$: $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 6$.
- $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 12 = 13$.
- Suku seperti $\sum\alpha$ adalah fungsi simetris dari akar.
Untuk x² − 5x + 6 = 0, α² + β² = (α+β)² − 2αβ. Temukan nilainya.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(α+β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13.
Anda telah memahaminya
- kuadrat: $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$
- kubik: $\sum\alpha = -\dfrac{b}{a}$, $\sum\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$
- ubah akar dengan substitusi