Termodinamika, Radiasi, Osilasi, dan Kosmologi

Dari es batu hingga bintang

Es batu, jembatan berayun, dan bintang yang jauh semuanya melibatkan energi. Unit ini menghubungkan gerakan molekul, perubahan nuklir, osilasi, dan pengamatan astronomi. Tugasnya sering kali untuk menguji sebuah klaim, bukan sekadar menghitung angka: nyatakan modelnya, bawa satuan dalam perhitungan, lalu bandingkan hasilnya dengan klaim tersebut.

WPH15 mencakup pernyataan 125–171 dari Isu Pearson 3. Unit ini juga menggunakan Unit 1, 2, dan 4. Kerjakan lembar kerja 5.1–5.9 sebelum set autentik yang sesuai. Gunakan konstanta yang disediakan secara konsisten: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$, dan $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ kecuali soal memberikan nilai lokal berbeda. Di sini $k_B$ adalah konstanta Boltzmann; $k_s$ melambangkan konstanta pegas.

Pemanasan, perubahan fase, dan kalibrasi termistor

Ikuti energinya, bukan hanya suhunya

Energi dalam adalah total energi dalam gerakan acak dan interaksi molekul: energi kinetik acak ditambah energi potensial antarmolekul. Energi ini tidak termasuk energi kinetik seluruh benda yang bergerak bersama. Suhu berkaitan dengan rata-rata energi kinetik acak molekul, bukan total energi dalam. Dua sampel pada suhu yang sama dapat memiliki energi dalam yang berbeda karena jumlah dan keadaan mereka berbeda.

Kapasitas kalor spesifik $c$ adalah energi yang dibutuhkan per kilogram untuk kenaikan suhu satu kelvin tanpa perubahan fase. Kalor laten spesifik $L$ adalah energi yang ditransfer per kilogram selama perubahan fase tertentu pada suhu tetap.

Perbedaan suhu $1\ ^\circ\mathrm C$ setara dengan perbedaan $1\ \mathrm K$. Suhu absolut dalam hukum gas dan radiasi harus dalam satuan kelvin. Selama meleleh atau mendidih, energi mengubah susunan molekul dan energi potensial sementara suhu tetap konstan pada perubahan fase tekanan konstan ideal. Es batu menyerap energi dari makanan/lingkungan saat meleleh. Ia tidak memancarkan “energi dingin” ke dalam makanan.

Pada daya pemanasan konstan, gradien waktu–suhu yang lebih curam berarti $mc$ yang lebih kecil, asalkan kehilangan panas dapat diabaikan. Bagian datar tidak berarti transfer energi telah berhenti. Untuk pemanas, energi input adalah $E_{\rm in}=Pt=VIt$; energi termal berguna bisa lebih kecil karena energi bocor ke lingkungan.

Contoh terarah. Balok $0.40\ \mathrm{kg}$ es pada $-10\ ^\circ\mathrm C$ mencair menjadi air pada $0\ ^\circ\mathrm C$. Gunakan $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ dan $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Diketahui: massa, suhu awal/akhir, dan konstanta material. Mengapa: memanaskan zat padat dan mencairkannya adalah transfer energi yang terpisah.

Contoh terarah. Pemanas $1000\ \mathrm W$ merebus $0.20\ \mathrm{kg}$ air dalam waktu $600\ \mathrm s$. Temukan efisiensi, menggunakan $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Untuk beban ketel berulang, hitung total volume air, jumlah beban, dan total waktu operasi. Bandingkan energi dalam interval waktu yang sama. Kehilangan siaga selama sehari dan input yang diperlukan untuk merebus air adalah besaran yang berbeda; nyatakan apa yang sebenarnya ditetapkan oleh perbandingan tertentu.

CP12: kalibrasi termostat

Termistor memiliki resistansi yang berubah seiring suhu. Termistor koefisien suhu negatif (NTC) yang umum mengalami penurunan resistansi saat dipanaskan. Dalam pembagi tegangan:

Dengan termistor sebagai resistor bawah dan output diukur di atasnya, pemanasan mengurangi tegangan output. Menukar posisi resistor membalikkan tren tersebut. Termostat menyala pada ambang output yang dipilih; pembagi tegangan saja bukan perangkat penyalakan lengkap.

Untuk praktik inti 12, tempatkan termistor dan termometer referensi berdekatan dalam bak air yang diaduk. Jaga kontak listrik tetap kering dan terisolasi. Pada beberapa suhu dalam rentang yang diinginkan, tunggu kesetimbangan termal dan catat suhu serta tegangan pembagi. Pertahankan tegangan suplai dan resistansi tetap tidak berubah. Gunakan voltmeter berinput-resistansi tinggi untuk mengurangi pembebanan. Plot output terhadap suhu dan interpolasi tegangan untuk suhu penyalakan yang dipilih. Ulangi pembacaan atau bandingkan pemanasan/dinginkan untuk mengungkap keterlambatan. Jangan asumsikan kalibrasi linear tanpa bukti. Gunakan listrik tegangan rendah dan hati-hati dengan air panas.

CP13: ukur kalor laten

Berikan daya listrik terukur ke suatu material selama perubahan fase. Ukur massa yang melebur atau menguap dalam interval waktu setelah kondisi stabil. Neraca mengukur perubahan massa; jangan keliru mencampuradukkan volume cairan terkumpul dengan massa. Tanpa koreksi kehilangan, $L=VIt/\Delta m$ mengasumsikan seluruh energi yang diberikan menyebabkan perubahan fase.

Koreksi yang berguna adalah membandingkan dua daya pada suhu perubahan fase stabil yang sama. Jika daya kehilangan panas kira-kira tidak berubah, pengurangan kedua pengukuran tersebut akan menghilangkannya:

Nyatakan asumsi kehilangan konstan. Pengukuran kontrol peleburan tanpa pemanas adalah kemungkinan koreksi lain dalam eksperimen es yang sesuai. Kurangi kehilangan panas dengan isolasi di mana aman; hindari cipratan, permukaan panas, dan koneksi mains yang tidak aman.

Gas ideal dan energi kinetik molekuler

Kelvin dan model gas ideal

Nol absolut adalah $0\ \mathrm K$, sekitar $-273\ ^\circ\mathrm C$. Ini adalah batas bawah suhu termodinamika. Dalam model gas ideal klasik, energi kinetik translasi rata-rata cenderung nol saat suhu mendekati nol. Gas nyata mengembun sebelum ekstrapolasi ini tercapai; jangan mengklaim molekul dalam setiap bahan nyata kehilangan semua energi yang mungkin.

Suhu absolut diukur dalam kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ dengan presisi yang biasanya digunakan di sini. Gas ideal terdiri dari partikel dengan volume yang dapat diabaikan, tidak ada gaya antarmolekul kecuali selama tumbukan elastis, dan gerakan acak. Tekanan berasal dari perubahan momentum di dinding.

Di sini $N$ adalah jumlah molekul, bukan jumlah mol. Gunakan tekanan dalam pascal, volume dalam meter kubik, dan suhu dalam kelvin. Untuk jumlah molekul tetap:

Pada volume tetap, tekanan berbanding lurus dengan suhu kelvin. Pada suhu tetap, $pV$ konstan. Sertakan tekanan eksternal jika pengukur melaporkan tekanan relatif terhadap atmosfer.

Contoh terkerjakan. Wadah $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ kaku berisi gas pada $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ dan $300\ \mathrm K$. Temukan $N$ dan tekanan setelah dipanaskan hingga $360\ \mathrm K$.

Jika satu molekul memiliki massa $m_0$, total massa gas adalah $Nm_0$. Untuk bola, cari terlebih dahulu $V=4\pi r^3/3$; jari-jari adalah setengah diameter.

Turunkan hubungan energi molekuler

Hubungan tekanan teori kinetik adalah $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, di mana $\langle c^2\rangle$ adalah kecepatan kuadrat rata-rata. Hal ini mengikuti dari perubahan momentum elastis di dinding dan gerak kuadrat rata-rata yang sama pada tiga arah tegak lurus. Kecepatan efektif kuadrat (RMS) adalah $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; ini bukan kuadrat dari kecepatan rata-rata.

Untuk kubus dengan sisi $l$, satu molekul dengan komponen kecepatan $c_x$ mengubah momentum dinding sebesar $2m_0c_x$ pada setiap tumbukan elastis. Waktu kembalinya ke dinding yang sama itu adalah $2l/c_x$. Oleh karena itu, gaya rata-ratanya adalah $m_0c_x^2/l$. Jumlahkan untuk semua molekul dan bagi dengan luas dinding $l^2$:

Gerakan acak terdistribusi merata di antara arah tegak lurus, sehingga $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Ini memberikan hubungan tekanan di atas. Samakan kedua ekspresi untuk $pV$, coret $N$, lalu susun ulang:

Pada suhu tertentu, spesies gas berbeda memiliki energi kinetik translasi rata-rata yang sama, tetapi molekul yang lebih ringan memiliki kecepatan RMS yang lebih besar. Jika kecepatan berlipat ganda pada suhu yang sama, massa molekul menjadi seperempat. Pemanasan meningkatkan energi kinetik molekul rata-rata; hal itu tidak memberikan setiap molekul kecepatan yang sama.

CP14: tekanan dan volume pada suhu tetap

Tangkap sejumlah tetap gas dalam jarum suntik atau silinder terkalibrasi yang terhubung ke sensor tekanan. Periksa kalibrasi dan gunakan tekanan absolut. Sertakan volume mati selang penghubung jika signifikan. Ubah volume secara bertahap, tunggu setelah setiap perubahan agar suhu kembali ke lingkungan, kemudian catat beberapa pasangan tekanan–volume. Jangan biarkan gas bocor. Grafik $p$ terhadap $1/V$ harus berupa garis lurus melalui titik asal dalam batas ketidakpastian. Kurva $p$–$V$ tidak lurus. Hindari tekanan berlebihan dan pastikan koneksi aman. Kompresi cepat memanaskan gas dan melanggar kondisi suhu tetap yang diinginkan.

Energi ikat, fisi, dan fusi

Defisit massa adalah selisih energi

Sebuah inti mengandung $Z$ proton dan $A-Z$ neutron. Massanya lebih kecil daripada total massa nukleon bebas ini. Defisit massa ini sesuai dengan energi ikat yang diperlukan untuk memisahkan inti sepenuhnya menjadi nukleon bebas:

Di sini $c_0$ adalah kecepatan cahaya, dibedakan dari kapasitas panas spesifik. Satuan massa atom terpadu adalah $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Ubah semua massa ke satuan yang sama sebelum mengurangkan. Massa nukleon dan massa atom netral tidak dapat saling menggantikan tanpa memperhitungkan elektron secara konsisten. Gunakan massa yang sebenarnya diberikan dalam soal.

Contoh terpecahkan. Sebuah inti memiliki defisit massa $0.030\ \mathrm u$ dan $A=4$. Temukan energi ikat per nukleon.

Mengapa fusi dan fisisi nuklir keduanya dapat melepaskan energi

Kurva energi ikat per nukleon naik curam untuk inti ringan, mencapai puncak di sekitar besi/nikel, lalu menurun secara bertahap untuk inti berat. Energi ikat per nukleon yang lebih besar umumnya berarti nukleon terikat lebih erat. Nilai vertikalnya, bukan sekadar nomor massa, yang penting saat membandingkan titik-titik.

Fusi nuklir menggabungkan inti ringan. Fisisi nuklir memecah inti berat menjadi produk yang lebih kecil, sering kali dengan neutron. Energi dilepaskan ketika produk memiliki total energi ikat yang lebih besar dan total massa diam yang lebih kecil daripada reaktan. Untuk reaksi, hitung selisih massa total, bukan hanya selisih dua nilai per nukleon. Total energi kekal.

Fusi memerlukan suhu sangat tinggi agar inti memiliki cukup energi kinetik untuk mendekat despite tolakan elektrostatik, dan kerapatan/konfinemen tinggi agar terjadi cukup banyak pertemuan dekat dan mempertahankan pelepasan energi. Suhu dan kerapatan memiliki peran yang berbeda. Hanya menyebut “tekanan tinggi” tidak menjelaskan overcoming repulsion.

Radiasi, latar belakang, dan peluruhan

Pilih radiasi berdasarkan interaksinya

Radiasi alfa terdiri dari inti helium: pengion kuat, jangkauan pendek dan dihentikan oleh kertas atau beberapa sentimeter udara. Radiasi beta terdiri dari elektron atau positron: kurang mengion, lebih menembus, biasanya dihentikan oleh beberapa milimeter aluminium. Radiasi gamma adalah radiasi elektromagnetik: pengion lemah dan sangat menembus; timbal atau beton mengurangi intensitasnya tetapi tidak menyediakan ketebalan penghenti yang tajam.

Dalam bilik awan, lintasan alfa tebal terutama karena pengionan kuat, dan relatif lurus karena partikel memiliki massa besar dibandingkan partikel beta. Lintasan beta lebih tipis dan lebih mudah berbelok. Jangan menukar penjelasan ini. Radiasi beta dapat memantau ketebalan kertas karena sebagian melewati dan sebagian diserap; perubahan ketebalan mengubah laju transmisi.

Dalam persamaan nuklir, konserve nomor nukleon dan nomor muatan. Peluruhan beta-minus mengonversi neutron menjadi proton; nomor massa tetap sama dan nomor atom bertambah satu. Sertakan antineutrino jika diperlukan, seperti pada Unit 4:

Peluruhan alfa mengurangi $A$ sebanyak empat dan $Z$ sebanyak dua. Emisi gamma tidak mengubah neither $A$ nor $Z$. Persamaan nuklir mengonserve lebih dari dua angka ini: energi dan momentum masih relevan.

Perbaiki latar belakang sebelum menerapkan model

Radiasi latar belakang berasal dari sumber seperti batuan, sinar kosmik dan lingkungan. Ukurlah untuk waktu yang cukup lama dengan sumber uji tidak ada. Kurangi laju hitungnya dari setiap pembacaan sumber-plus-latar belakang. Jaga konsistensi satuan waktu penghitungan. Laju hitung detektor yang telah dikoreksi sebanding dengan aktivitas sumber hanya jika geometri dan efisiensi deteksi tetap tidak berubah; itu bukan otomatis aktivitas dalam becquerel.

Contoh terpecahkan. Detektor membaca $62\ \mathrm{min^{-1}}$ pada jarak $r$, termasuk latar belakang $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Prediksikan laju total pada $2r$ untuk sumber gamma isotropik kecil dengan penyerapan yang dapat diabaikan.

Jangan bagi latar belakang dengan empat: itu tidak semuanya berasal dari sumber uji.

Peristiwa acak, populasi yang dapat diprediksi

Peluruhan radioaktif bersifat spontan: inti yang tidak stabil meluruh tanpa pemicu eksternal. Sifatnya acak: waktu pasti peluruhan untuk inti individu tidak dapat diprediksi. Populasi besar memiliki pola peluruhan statistik yang dapat diprediksi. Aktivitas $A$ adalah jumlah peluruhan per detik, diukur dalam becquerel, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

Konstanta peluruhan $\lambda$ adalah probabilitas per satuan waktu untuk peluruhan suatu inti. Waktu paruh $t_{1/2}$ adalah waktu yang dibutuhkan agar populasi atau aktivitas yang belum meluruh berkurang menjadi setengahnya secara rata-rata.

Pada satu waktu paruh, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Mengambil logaritma memberikan:

Garis log-aktivitas–waktu memiliki gradien $-\lambda$. Ambil logaritma dari laju yang telah dikoreksi, bukan pembacaan sumber ditambah latar belakang. Bacalah beberapa interval waktu paruh dari grafik dan ratakan; ukur dari tingkat aktivitas yang telah dikoreksi, bukan dari total hitungan nol.

Contoh soal. Sebuah sumber memiliki waktu paruh $3.0\ \mathrm{years}$. Kapan aktivitas akan turun menjadi $2.0\%$ dari nilai awalnya?

Gunakan pecahan, bukan $2.0$ di dalam logaritma. Jika menghitung daya dari sumber radioaktif, $P=A E_{\rm decay}$, dengan energi per peluruhan dalam joule. Ini adalah daya nuklir yang dilepaskan; output listrik yang berguna mungkin lebih kecil. Konversikan waktu paruh ke detik ketika aktivitas harus dinyatakan dalam becquerel.

CP15: penyerapan radiasi gamma oleh timbal

Jaga posisi sumber, penyerap, dan detektor tetap. Ukur latar belakang, kemudian hitungan selama interval waktu diketahui yang sama untuk berbagai ketebalan timbal total. Ulangi atau perpanjang waktu penghitungan karena hitungan berfluktuasi. Kurangi laju latar belakang sebelum membandingkan transmisi. Jika setiap tebalan yang sama memberikan penurunan fraksional yang sama, peredaman bersifat eksponensial; grafik log laju terkoreksi terhadap ketebalan hampir berupa garis lurus. Tiga tebalan setengah nilai mentransmisikan $1/8$, bukan $1/3$.

Konstanta penyerap material bukan konstanta peluruhan waktu dari sumber. Hindari pembacaan yang terlalu dekat dengan latar belakang, di mana pengurangan memberikan ketidakpastian relatif besar. Tangani sumber dengan alat yang ditentukan di bawah pengawasan, jaga jarak, minimalkan waktu paparan, dan kembalikan ke perisai. Jangan pernah menyentuh sumber atau mengarahkannya ke orang lain. Jaga kebersihan penanganan timbal dan cuci tangan.

Gerak harmonik sederhana, grafik, dan energi

Kondisi pemulih

Gerak harmonik sederhana (GHS) terjadi ketika percepatan resultan sebanding dengan simpangan dari posisi kesetimbangan tetap dan arahnya menuju posisi tersebut:

Tanda negatif menunjukkan arah pemulih. Kecepatan konstan, pengulangan saja, atau gaya yang hanya mengarah ke pusat tidak menetapkan GHS. Untuk pegas gantung vertikal, ukur $x$ dari posisi kesetimbangan bermuatan. Berat sudah seimbang di sana; resultan untuk perpindahan adalah $-k_sx$.

Untuk pelepasan dari simpangan maksimum positif pada $t=0$:

Di sini $A_0$ adalah amplitudo, bukan aktivitas radioaktif. Fase bergantung pada waktu mulai yang dipilih; simpangan sinus dapat menggambarkan gerakan yang sama dengan titik awal lain. Diferensiasikan secara grafis: gradien simpangan–waktu adalah kecepatan, dan gradien kecepatan–waktu adalah percepatan. Pada simpangan maksimum, kecepatan adalah nol dan percepatan mengarah kembali ke kesetimbangan. Pada kesetimbangan, kecepatan terbesar dan percepatan nol.

Contoh soal. Grafik memberikan amplitudo $0.030\ \mathrm m$ dan periode $0.50\ \mathrm s$. Temukan kecepatan maksimum dan percepatan maksimum.

Atau temukan kecepatan maksimum dari garis singgung pada grafik simpangan di kesetimbangan. Konversikan sentimeter ke meter. Gradien lurus negatif $a$–$x$ adalah $-\omega^2$, jadi ambil negatifnya sebelum akar kuadrat.

Periode dan energi

Untuk massa pada pegas ideal dan pendulum sederhana pada sudut kecil:

Panjang pendulum adalah dari titik tumpu ke pusat beban. Periode sudut kecil tidak bergantung pada massa beban. Rasio periode untuk satu pegas yang tidak berubah memberikan $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Gunakan total massa baru sebelum menemukan massa tambahan.

Contoh terpecahkan. Sebuah massa $0.50\ \mathrm{kg}$ memiliki periode $0.80\ \mathrm s$. Penambahan massa meningkatkan periode menjadi $1.00\ \mathrm s$ pada pegas yang sama.

Untuk osilator pegas tanpa redaman, energi berpindah antara penyimpanan potensial elastis dan kinetik:

Dengan demikian grafik $E_k$–$x$ adalah parabola terbalik: nol pada $\pm A_0$, maksimum positif pada $x=0$. Grafik $E_p$–$x$ terbuka ke atas. Jumlah keduanya konstan dalam model tak damped. Pada sistem damped, energi ditransfer keluar sehingga amplitudo berkurang. Total energi termasuk lingkungan tetap kekal.

CP16: inferensi massa tak diketahui dari resonansi

Pertahankan sistem pegas/pendukung yang sama. Pasang beberapa massa yang diketahui, gerakkan dengan osilasi kecil dan variasi frekuensi untuk menemukan amplitudo stabil terbesar untuk setiap massa. Catat frekuensi resonansi, ulangi perlahan di sekitar setiap puncak. Dengan redaman ringan hal ini mendekati frekuensi alami. Plot $1/f^2$ terhadap total massa yang diketahui; model pegas memberikan gradien $4\pi^2/k_s$. Gunakan kalibrasi untuk menyimpulkan massa tak dikenal dari frekuensi resonansinya.

Perhitungkan gantungan dan, jika signifikan, massa bergerak efektif dari pegas. Intersep nonzero mungkin mewakili kontribusi ini; jangan memaksa garis melalui titik asal tanpa pembenaran. Pertahankan amplitudo kecil dan di bawah batas elastis. Kencangkan massa dan berdirinya, serta jaga kaki tetap jauh. Mengukur periode bebas dapat menyediakan perbandingan independen yang berguna, namun praktik yang ditentukan menggunakan frekuensi resonansi.

Osilasi paksa, resonansi, dan redaman

Osilasi bebas mengikuti gangguan awal tanpa penggerak periodik berkelanjutan. Osilasi paksa dipertahankan oleh gaya penggerak periodik; frekuensi mantapnya adalah frekuensi penggerak. Frekuensi alami adalah frekuensi osilasi bebas untuk sistem di bawah kondisi yang dinyatakan.

Resonansi terjadi ketika frekuensi penggerak berada pada atau dekat frekuensi alami, menghasilkan transfer energi efisien dan amplitudo mantap besar. Ini tidak berarti “frekuensi maksimum”. Untuk sistem beredam ringan, puncak amplitudo berada dekat frekuensi alami tanpa redaman. Redaman yang lebih besar menurunkan dan melebarkan puncak; jangan sajikan setiap puncak beredam sebagai tepat pada frekuensi alami tanpa redaman.

Redaman memindahkan energi menjauhi osilasi, misalnya melalui kerja resistif yang meningkatkan energi termal peredam dan lingkungan. Redaman yang lebih kuat dapat mengurangi gerakan jembatan/gedung yang berbahaya. Deformasi plastis pada material ulet juga menyerap energi mekanik secara ireversibel; deformasi murni elastis mengembalikan energi tersimpan dan bukan mekanisme yang sama.

Penjelasan terpecahkan. Orang berjalan menyuplai gaya penggerak periodik ke jembatan. Jika frekuensinya dekat frekuensi alami, energi berpindah efisien ke jembatan dan amplitudo meningkat. Peredam melakukan kerja melawan gerakan, memindahkan energi osilasi ke penyimpanan termal, sehingga amplitudo mantap terbatas. Hubungkan sebab dan akibat dalam urutan ini daripada hanya mencantumkan “resonansi, energi, redaman”.

Untuk bentuk dan amplitudo yang sama, penambahan massa pada pendulum ringan meningkatkan energi mekanik tersimpan sementara periode ideal sudut kecil tetap tidak berubah. Di bawah kerugian resistif yang sebanding, ia dapat kehilangan fraksi energi yang lebih kecil per siklus. Perbandingan redaman kontekstual ini tidak membuktikan bahwa setiap osilator yang lebih berat selalu beredam lebih lambat.

Medan gravitasi dan orbit

Medan dan potensial memiliki makna berbeda

Medan gravitasi adalah wilayah di mana suatu massa mengalami gaya. Kekuatan medan gravitasi $g=F/m$ adalah gaya per satuan massa uji. Ini adalah vektor yang mengarah menuju massa sumber terisolasi. Hukum Newton untuk massa titik, atau di luar sumber simetris bola, adalah:

$r$ adalah jarak pusat-ke-pusat, bukan ketinggian di atas permukaan. Untuk gerak lokal dekat-Bumi, konstanta $g$ dapat sesuai. Jarak radial yang besar tidak konstan.

Potensial gravitasi adalah energi potensial per satuan massa, dengan nol di tak terhingga:

Potensial adalah skalar dan bernilai negatif pada jarak berhingga. Bergerak menjauh membuat potensial kurang negatif, sehingga energi potensial meningkat sementara gaya tarik melemah. Nilai grafik potensial dan jari-jari yang sesuai memberikan $M=-Vr/G$.

Medan gravitasi dan medan listrik keduanya bersifat radial untuk sumber titik terisolasi dan besar gayanya mematuhi hukum kuadrat terbalik. Gravitasi bekerja pada massa dan bersifat tarik dalam model ini. Gaya listrik bekerja pada muatan dan dapat menarik atau tolak. Arah medan listrik mengikuti gaya pada muatan uji positif; muatan negatif dipaksa berlawanan arah.

Contoh penyelesaian. Sebuah satelit $1000\ \mathrm{kg}$ bergerak dari jari-jari $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ ke $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ mengelilingi Bumi, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Tentukan perubahan energi potensinya.

Tanda positif adalah nilai akhir dikurangi awal. Ini bukan total energi peluncuran, karena energi kinetik juga mungkin berubah. $mg\Delta h$ dengan permukaan konstan $g$ tidak cocok digunakan untuk jarak ini.

Turunkan orbit melingkar

Gaya gravitasi menyediakan resultan ke dalam:

Massa yang mengorbit saling menghilangkan. Periode bertambah seiring jari-jari. Untuk tampak diam di atas satu titik pada planet yang berputar, sebuah satelit memerlukan orbit ekuatorial melingkar, arah rotasi yang sama, dan kecepatan sudut/periode yang sesuai. Kesesuaian periode saja tidak cukup.

Contoh penyelesaian. Untuk $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ dan periode $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, tentukan radius orbit diam.

Kurangkan radius planet hanya jika diminta mencari ketinggian di atas permukaan. Untuk medan permukaan bintang, gunakan radiusnya, bukan diameter yang terdaftar; uji klaim multiplikativitas terhadap medan Bumi dengan menghitung rasionya.

Radiasi bintang, jarak, dan evolusi

Suhu, luminositas, dan intensitas yang diterima

Benda hitam menyerap seluruh radiasi elektromagnetik insiden dan merupakan pemancar termal ideal. Spektrum kontinunya memiliki bentuk karakteristik. Peningkatan suhu meningkatkan total daya yang dipancarkan per satuan luas dan menggeser puncak panjang gelombang ke panjang gelombang yang lebih pendek. Luas di bawah kurva intensitas spektral mewakili intensitas total hanya dengan definisi sumbu spektral yang tepat.

Luminositas $L_\star$ adalah total daya yang dipancarkan. Intensitas $I$ yang diterima pada jarak $d$ adalah daya per satuan luas penerima. Untuk bintang benda hitam berbentuk bola berjari-jari $R$ yang memancarkan secara merata ke segala arah:

Luas pertama adalah permukaan pemancar; kedua adalah sphere penerima yang mengembang. Jangan mensubstitusikan jarak pengamat ke dalam luas permukaan bintang. Pemancar nyata mungkin bukan benda hitam sempurna, dan materi antarbintang dapat menyerap radiasi.

Konstanta Wien yang dinyatakan menggambarkan spektrum per satuan panjang gelombang. Maksimum spektrum yang digambarkan per satuan frekuensi tidak berubah menjadi maksimum panjang gelombang tersebut hanya dengan mengganti $\lambda$ dengan $c_0/f$. Jika soal ujian memberikan frekuensi yang sesuai dengan puncak panjang gelombangnya, konversikan panjang gelombang yang diberikan menggunakan $c_0=f\lambda$. Jangan ubah konvensi tugas khusus ini menjadi aturan umum untuk setiap plot spektral.

Contoh penyelesaian. Spektrum panjang gelombang bintang memuncak pada $580\ \mathrm{nm}$ dan radiusnya adalah $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Temukan suhu, luminositas, dan intensitas pada $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

Jaga suhu tanpa pembulatan karena dipangkatkan empat. Bandingkan intensitas yang diterima dengan referensi yang disebutkan sebelum menerima klaim suhu planet atau daya.

Dua metode jarak

Parallax trigonometri mengukur pergeseran sudut semu bintang terdekat terhadap bintang latar belakang yang jauh saat Bumi bergerak mengelilingi Matahari. Pengamatan enam bulan apart menggunakan basis sepanjang dua jari-jari orbit Bumi. Sudut parallax $p$ adalah setengah dari total pergeseran. Untuk $p$ kecil dalam radian, jaraknya adalah $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Parsec adalah jarak yang memberikan parallax $1$ busur detik; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. Jangan gunakan diameter Bumi atau Matahari sebagai basis orbit.

Pada jarak yang jauh, $p$ menjadi terlalu kecil untuk diukur secara akurat oleh instrumen. Keterbatasan ini adalah resolusi sudut/ketidakpastian relatif, bukan karena bintang tersebut tidak terlihat.

Lilin standar adalah objek dengan luminositas yang diketahui. Identifikasi satu dalam gugus, ukur intensitas yang diterima, dan gunakan $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Kecerahan semu tidak diasumsikan diketahui sebelumnya. Bintang variabel Cepheid memiliki hubungan terkalibrasi antara periode dan luminositas. Ukur beberapa periode kurva cahaya lengkap, bagi dengan jumlahnya, baca kalibrasi dengan teliti, dan konversi satuan luminositas matahari. Garis lurus pada sumbu logaritmik tidak otomatis merupakan hubungan linear antar besaran mentah.

Contoh pengerjaan. Sebuah lilin standar memiliki $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ dan intensitas diterima $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Membaca Diagram Hertzsprung–Russell

Diagram Hertzsprung–Russell memplot luminosity secara vertikal terhadap suhu permukaan secara horizontal, biasanya dengan suhu menurun ke kanan dan skala logaritmik. Urutan utama membentang dari bintang panas dan terang di kiri atas hingga bintang dingin dan redup di kanan bawah. Raksasa merah adalah dingin tetapi bercahaya karena luas permukaannya yang besar. Katai putih adalah panas tetapi redup karena luas permukaannya yang kecil. Tandai Matahari dekat satu luminositas matahari dan sekitar $5800\ \mathrm K$ pada urutan utama.

Bintang terbentuk ketika gravitasi mengontraksi awan gas dan debu. Inti memanaskan hingga fusi hidrogen dapat mempertahankan bintang urutan utama; tekanan keluar menyeimbangkan gravitasi. Pada bintang seperti Matahari, hidrogen inti akhirnya menipis, fusi di sana berkurang dan gravitasi mengontraksi inti. Suhu inti meningkat; pembakaran selubung hidrogen dan kemudian fusi helium terkait dengan ekspansi menjadi raksasa merah. Lapisan luar hilang, menyisakan inti katai putih tanpa fusi berkelanjutan. Ia mendingin selama waktu yang sangat lama. Matahari tidak akan menjadi supernova atau bintang neutron.

Bintang yang jauh lebih masif dapat melakukan fusi unsur yang lebih berat melalui tahap selanjutnya. Ketika intinya tidak lagi bisa mendapatkan energi dari fusi, keruntuhan dan supernova dapat menyisakan bintang neutron atau lubang hitam, tergantung pada sisaannya. Bintang urutan utama yang masif memiliki lebih banyak bahan bakar tetapi menghabiskannya jauh lebih cepat karena inti yang lebih panas. Oleh karena itu, masa hidup urutan utamanya bisa lebih pendek. Jelaskan laju fusi, bukan hanya jumlah bahan bakar. Jalur HR menunjukkan perubahan suhu/luminosity, bukan bintang bergerak melintasi ruang.

Pergeseran Doppler dan kosmologi

Membandingkan garis spektral yang sama

Efek Doppler adalah perubahan frekuensi/gelombang yang diamati akibat gerakan relatif sepanjang garis pandang. Gelombang berturut-turut tiba lebih renggang dari sumber yang menjauh dan lebih rapat dari sumber yang mendekat. Penjauhan memberikan panjang gelombang lebih panjang dan frekuensi lebih rendah; pendekatan memberikan panjang gelombang lebih pendek dan frekuensi lebih tinggi. Gerakan murni tegak lurus terhadap garis pandang bukanlah kecepatan menjauh dalam model sederhana.

*Sumber menjauh menghasilkan panjang gelombang teramati yang lebih panjang untuk garis spektral yang sama yang diidentifikasi.

Untuk radiasi elektromagnetik pada kecepatan menjauh yang rendah:

Redshift $z$ bernilai positif untuk penjauhan. Untuk pergeseran kecil, magnitudenya juga kira-kira sama dengan penurunan pecahan frekuensi yang diamati relatif terhadap frekuensi yang dipancarkan. Nyatakan konvensi tanda: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ bernilai negatif untuk penjauhan. Jangan samakan redshift positif dengan peningkatan frekuensi bermuatan. Pendekatan $v/c_0$ bukan rumus relativistik kecepatan tinggi umum.

Contoh pengerjaan. Sebuah garis dipancarkan pada $500\ \mathrm{nm}$ diamati pada $505\ \mathrm{nm}$.

Untuk menggunakan garis serapan bintang, ingat Unit 2: foton hanya diserap ketika energinya sesuai dengan perbedaan tingkat atom yang diizinkan. Bandingkan garis spektral yang teridentifikasi yang sama, bukan dua elemen berbeda.

Untuk sisi berlawanan bintang yang berputar, satu mendekat sementara yang lain menjauh. Jika pergeserannya sama dan berlawanan, pemisahan dua panjang gelombang yang diamati adalah dua kali pergeseran salah satu sisi. Bagilah pemisahan itu dengan dua sebelum mencari kecepatan ekuator. Kemudian gunakan $T=2\pi R/v$. Ini mengasumsikan kecepatan sisi garis pandang yang diamati mewakili kecepatan rotasi ekuator di bawah geometri pandangan yang dinyatakan.

Hukum Hubble dan batasannya

Pada skala kosmologis yang besar, kecepatan menjauh kira-kira mengikuti Hukum Hubble:

Konstanta Hubble $H_0$ memiliki satuan kebalikan waktu. Dalam $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, konversikan kilometer menjadi meter dan megaparsec menjadi meter sebelum mengambil resiproknya dalam satuan detik. Benda-benda dekat mungkin memiliki gerakan lokal yang tidak mengikuti hubungan skala besar.

Contoh terpecahkan. Gunakan $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ dan $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ untuk memperkirakan skala waktu ekspansi.

Resiproknya adalah Waktu Hubble. Menafsirkannya sebagai usia mengasumsikan model laju ekspansi masa lalu; ini bukan model-independent usia yang eksak. Nilai $H_0$ yang lebih besar menghasilkan skala waktu resiprok yang lebih kecil. Bukti ekspansi mendukung alam semesta yang lebih padat dan panas di masa lalu; hal ini tidak menggambarkan ledakan ke dalam ruang pusat-lingkaran yang sudah kosong.

Materi gelap disimpulkan dari efek gravitasi yang tidak dapat dijelaskan oleh materi terlihat saja, seperti rotasi galaksi dan gerakannya. Materi ini tidak perlu memancarkan cahaya yang terdeteksi. Jumlah materi penggravitasi mempengaruhi bagaimana ekspansi berubah, sehingga ketidakpastian konten materi dan model ekspansi mempengaruhi prediksi takdir alam semesta. Jangan menyimpulkan bahwa satu pengukuran $H_0$ saja membuktikan ekspansi abadi atau keruntuhan di masa depan. Model modern juga mempertimbangkan energi gelap; hasil 171 secara spesifik memerlukan pemahaman tentang kontroversi mengenai $H_0$, materi gelap, usia dan takdir, daripada menghafal satu prediksi tanpa kualifikasi.

Kesalahan umum

• Menggunakan °C dalam $pV = NkT$, hukum Stefan atau hukum Wien. Semua memerlukan Kelvin: $T/\text{K} = \theta/{}^\circ\text{C} + 273$.
• Menggunakan $\Delta E = mc\Delta\theta$ saat suatu zat meleleh atau mendidih. Suhu tetap konstan saat itu; gunakan $\Delta E = mL$.
• Mencampur $N$ dan $n$. $pV = NkT$ menggunakan jumlah molekul; $pV = nRT$ menggunakan jumlah mol.
• Menyebutkan energi ikat total ketika ditanyakan inti mana yang lebih stabil. Bandingkan energi ikat per nukleon.
• Meninggalkan defek massa dalam u. Konversikan dengan $1\ \text{u} = 1.66\times10^{-27}\ \text{kg}$ (atau gunakan $1\ \text{u} \equiv 931.5\ \text{MeV}$) sebelum $\Delta E = c^2\Delta m$.
• Mencampur satuan waktu dalam $A = \lambda N$. Jika $A$ dalam bequerel, $\lambda$ harus dalam $\text{s}^{-1}$.
• Lupa mengurangi latar belakang sebelum menyesuaikan kurva peluruhan atau menguji hukum kuadrat terbalik.
• Mengatakan percepatan nol di akhir osilasi. Pada $x = \pm A$ kecepatan nol dan percepatan terbesar; pada kesetimbangan sebaliknya.
• Berpikir amplitudo yang lebih besar mengubah periode. Untuk gerak harmonik sederhana, periode hanya bergantung pada $m$ dan $k$ (atau $l$ dan $g$).
• Mengukur jari-jari orbit dari permukaan. Dalam $g = GM/r^2$ dan $V_{\text{grav}} = -GM/r$, $r$ diukur dari pusat.
• Melupakan $4\pi d^2$ dalam $I = L/4\pi d^2$, atau menggunakan diameter bintang untuk jari-jarinya dalam $L = 4\pi r^2\sigma T^4$.
• Menggunakan $z = \Delta\lambda/\lambda \approx v/c$ untuk galaksi yang sangat jauh tanpa menyebutkan bahwa hal itu memerlukan $v \ll c$.

Periksa diri Anda

1. Mengapa energi internal dapat meningkat tanpa kenaikan suhu selama perubahan fase?
2. Sejumlah gas tetap yang dipanaskan dalam wadah kaku. Skala suhu mana yang harus digunakan untuk membandingkan tekanan?
3. Apakah energi ikat per nukleon yang lebih besar berarti kurang atau lebih energi diperlukan untuk memisahkan setiap nukleon rata-rata?
4. Mengapa latar belakang harus dikurangkan sebelum menggunakan rasio laju hitungan atau logaritma?
5. Garis $a$–$x$ memiliki gradien $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Temukan frekuensi sudut.
6. Mengapa kecepatan SHM maksimum di titik kesetimbangan meskipun percepatannya nol di sana?
7. Mengapa jembatan teredam dapat digerakkan pada frekuensi yang sama tetapi bergetar dengan amplitudo yang lebih kecil?
8. Apakah mengangkat satelit ke jari-jari yang lebih besar meningkatkan atau mengurangi energi potensial gravitasinya yang bertanda?
9. Sebuah bintang panas namun redup. Wilayah HR manakah yang masuk akal, dan apa yang dapat menjelaskan luminositasnya yang rendah?
10. Saat menggunakan pemisahan panjang gelombang dari anggota berputar berlawanan, mengapa faktor dua diperlukan?

Jawaban: (1) energi potensial molekuler berubah; (2) kelvin; (3) lebih banyak; (4) latar belakang tidak mengikuti hukum peluruhan/jarak sumber; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) resultan pemulih nol di sana tetapi energi sebagian besar kinetik; (7) kehilangan energi lebih besar membatasi amplitudo stabil; (8) meningkat menuju nol; (9) katai putih, permukaan pemancar kecil; (10) satu anggota mengalami pergeseran biru sementara yang lain mengalami pergeseran merah.