אירועים משולבים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | בלתי תלויים |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | לא תואמים |
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | מרחב דגימה |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | דיאגרמת עץ |
| replacement/rɪˈpleɪsmənt/ | החזרה |
שני אירועים בו-זמנית
- אתה זורק קובייה ומחייך מטבע. מה הסיכון לקבל שישי AND ראש?
- אירועים משולבים דורשים שני כללים: AND (כפל) ו-OR (חיבור).
AND — כפל (אירועים בלתי תלויים)
- עבור שני אירועים בלתי תלויים (אחד אינו משפיע על השני):
$\text{P}(\text{six and heads}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{12}$.
אירועים משולבים
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
שלב שני אירועים: מודל השטח מראה AND (חפיפה) לעומת OR (איחוד).
עבור שני אירועים עצמאיים המתרחשים גם יחד (AND), עליך:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
P(A and B) = P(A) × P(B) עבור אירועים עצמאיים.
OR — חיבור (אירועים שאינם יכולים להתרחש יחד)
- עבור שני אירועים שאינם יכולים להתרחש יחד (לא ניתן שהם יתרחשו גם יחד):
עץ הסברות
כפלו את ההסברות לאורך כל ветב; ארבעת התוצאות תמיד סוכמות ל-1.
למאורעות בלתי תואמים, P(A או B) = P(A) + P(B).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מאורעות בלתי תואמים לא יכולים לקרות יחד, ולכן מגבירים את ההסתברות שלהם.
שלוש דרכים להציג תוצאות
- תרשים מרחב דגימה: טבלה של כל התוצאות (שתי קוביות → $36$ תאים).
- תרשים ון: מחלק תוצאות לקבוצות חופפות.
- תרשים עץ: ענף לכל שלב; כפול לאורך הענפים, ואז הוסף את הדרך שאתה רוצה.
תרשים ון מחלק תוצאות: החפיפה היא $\text{P}(A\text{ and }B)$, והכל בתוך כל מעגל הוא $\text{P}(A\text{ or }B)$
כפול לאורך, הוסף בין. בתרשים עץ: כפול הסתברויות לאורך כל ענף (קבלת הסתברות המסלול), ואז הוסף את המסלולים הרצויים (לקבלת ההסתברות הכוללת).
בגרף 6 על 6 של שני קוביות (36 תאים), כמה תאים נותנים סכום של 7?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1 — שש תאים, לכן P(7) = 6/36 = 1/6.
בדיagram עץ, אתה ______ לאורך ветки ומגביר בין מסלולים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כופלים לאורך כל ветка כדי לקבל את הסתברות המסלול, ואז מגבירים את המסלולים הרצויים.
עם החזרה וללא החזרה
- עם החזרה: הה chances נשארות זהות בכל פעם.
- ללא החזרה (מורחב): הסך הכל והמספר משתנים לאחר כל גרירה.
- תיק של $3$ אדומים, $5$ כחולים: P(אדום, אדום) עם החזרה $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{64}$. ללא החזרה $= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$.
תרשימי ון מראים אירועים משולבים: החפיפה (חפיפה) היא AND, האזור כולו (איחוד) הוא OR.
תיק עם 3 אדומים, 5 כחולים, שני משיכות עִם החזרה. P(אדום, אדום) = 9/b. מהי b?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(3/8) × (3/8) = 9/64, ולכן b = 64.
אותו תיק, בלי החזרה. לאחר שהוצא אדום אחד, כמה אדומים נותרו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
התחלנו עם 3 אדומים; הוצאת אחד משאירה 2 אדומים (מסך 7 חלקיקים).
בדיוק אחד פירושו שני מסלולים
- גרור פעמיים מתוך 2 חלקיקים אדומים ו-3 חלקיקים כחולים עם החזרה. בכל שלב יש אדום $2/5$ וכחול $3/5$. בדיוק אדום אחד כולל RB ו-BR, ולכן $p=(2/5)(3/5)+(3/5)(2/5)=12/25$.
- לפחות אדום אחד קל יותר באמצעות המשלימה: $p=1-(3/5)^2=16/25$. זה כולל גם RR וגם את שני המסלולים המעורבים; אל תבלבל בין "בדיוק אחד" ל"לפחות אחד".
הוצאה עם החזרה מ2 חומות ו3 כחולות, מצא את ההסתברות לקבלת בדיוק אחת אדומה בשתי הוצאות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
RB ו-BR נותנים 6/25 + 6/25 = 12/25 = 0.48.
הבנתך מושלמת
- AND → כפול (בdependents); OR → הוסף (mutually exclusive)
- בעץ: כפול לאורך ענפים, הוסף את הדרך הרצויה
- ללא החזרה, ההסתברות השנייה מתשנה ($\dfrac{3}{8} \to \dfrac{2}{7}$)