שטח פנים ונפח של גופים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | נפח |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | שטח פנים |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | קובייה מוארכת (קוביית ארוכה) |
| prism/ˈprɪzəm/ | מעוין |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | צילינדר |
| cone/kəʊn/ | קונוס |
| sphere/sfɪə/ | כדור |
How much water fills a swimming pool?
- A pool 25 m long, 10 m wide, 2 m deep holds $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ litres.
- Volume 体积 tells you how much a solid can hold. Surface area 表面积 tells you how much material covers it.
מעבדת יחס נפח
שטח הפנים גדל ביחס למעלה^2
שנו את קנה המידה האורכי והצפו לנפח לגדול מהר משטח הפנים.
Volume of common solids
| Solid | Volume |
|---|---|
| cuboid 长方体 | $l \times w \times h$ |
| prism 棱柱 | cross-section area $\times$ length |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^2 h$ |
| pyramid | $\dfrac{1}{3} \times$ base area $\times h$ |
| cone 圆锥 | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| sphere 球 | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
A prism has the same cross-section all along its length. A cylinder is a circular prism: cross-section $= \pi r^2$, so volume $= \pi r^2 \times h$.
The pyramids of Giza are giant square-based pyramids — real solids whose volume and surface area you can calculate
לצילינדר יש רדיוס של 5 ס"מ וגובה של 10 ס"מ. נפחו הוא kπ ס"מ³. מהו ערך k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נפח = πr²h = π(25)(10) = 250π, ולכן k = 250.
הנפח של כדור ברדיוס r הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נפח כדור = (4/3)πr³; 4πr² הוא השטח שלו.
לקונית יש רדיוס של 3 ס"מ וגובה של 4 ס"מ. נפחה הוא kπ ס"מ³. מהו ערך k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נפח = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π, ולכן k = 12.
גוף מלבני הוא 4 ס"מ ב-3 ס"מ ב-5 ס"מ. מצאו את נפחו (ס"מ³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נפח = אורך × רוחב × גובה = 4 × 3 × 5 = 60 ס"מ³.
Surface area
- Add the area of every outside face.
- Cylinder: curved surface $2\pi rh$ plus two circular ends $2\pi r^2$. Total $= 2\pi rh + 2\pi r^2$.
- Sphere: $4\pi r^2$.
Surface area ≠ volume. A cylinder's volume uses $\pi r^2 h$ (cubic units); its surface area uses $2\pi rh + 2\pi r^2$ (square units). Mixing them up is a common mistake.
The pyramids of Giza are square-based pyramids, a 3-D solid
לאותו צילינדר (r = 5, h = 10) יש שטח כולל של kπ ס"מ². מהו ערך k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π, ולכן k = 150.
שטח פנים ונפח של צילינדר משתמשים באותה נוסחה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נפח = πr²h (יחידות קוב); שטח פנים = 2πrh + 2πr² (יחידות מרובעות). נוסחות שונות.
Worked example
- Cylinder $r = 5$, $h = 10$:
- Volume $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$.
- Surface area $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$.
Volume builds on area: a cylinder is a circle ($\pi r^2$) extended through a height ($h$).
Stacked containers are cuboids; volume is length times width times height
Cone area and pyramid volume
- A cone with radius 3 cm, perpendicular height 4 cm and slant height 5 cm has curved area $S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$. Add its circular base for total $S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$; use perpendicular height for volume $V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$.
- A pyramid with base area $30\text{ cm}^2$ and perpendicular height 8 cm has $V=Ah/3=80\text{ cm}^3$. For its surface area, add the base and the triangular faces, using each face's perpendicular height.
לקונוס יש r = 3 ס"מ וגובה מוטה של 5 ס"מ. שטחו הכולל הוא kπ ס"מ². מצא את k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השטח המעוגל הוא 15π ושטח הבסיס הוא 9π; lכן k = 24.
לפירמידה יש שטח בסיס של 30 ס"מ² וגובה אנכי של 8 ס"מ. מצא את נפחו בס"מ³.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V = שטח בסיס × גובה / 3 = 30 × 8 / 3 = 80.
You've got it
- cylinder volume $= \pi r^2 h$; sphere $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$; cone $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- cylinder surface $= 2\pi rh + 2\pi r^2$; sphere surface $= 4\pi r^2$
- $r=5$, $h=10$ cylinder: volume $250\pi$, surface $150\pi$