מעגלים, קשתות וסקטורים

המספר שלא נגמר לעולם

• $\pi \approx 3.14159\dots$ הוא היחס בין היקף כל עיגול לקוטר שלו.
• זהו מספר אי-רציונלי — הספרות שלו לא חוזרות ולא נגמרות. מצרים עתיקים קירבו אותו ל-$\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.

היקף ושטח

• לעיגול עם רדיוס $r$ (קוטר $d = 2r$):

עוגייה היא השבר $\tfrac{\theta}{360}$ מעוגלה שלמה, ולכן הקשת והשטח שלה הם השבר הזה מ-$2\pi r$ ו-$\pi r^2$

קשתות ועוגיות

• עוגייה היא פרוסה בעיגול בין שני רדיוסים, בזווית $\theta$.
• היא השבר $\dfrac{\theta}{360}$ מהעיגול כולו:

עוגייה בזווית $\theta$ היא $\dfrac{\theta}{360}$ מעוגלה שלמה — אותו שבר חל גם על אורך הקשת וגם על השטח.

דוגמה מפורשת

• $\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: שבר $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
• קשת $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
• שטח $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.

עיגול: היקף = פי d ושטח = פי r בריבוע

אורך קשת אינו היקף מישור

• קטע מעגלי ברדיוס 6 ס"מ ובזווית $120^{\circ}$ מהווה שבר $1/3$. אורך הקשת הוא $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ ס"מ; השטח הוא $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
• ההיקף שלו כולל גם שני רדיוסים: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ ס"מ. זוויות ליבה של קטע הן גורמים של $360^{\circ}$; בהרחבה ניתן להשתמש בזוויות אחרות.

הבנתך מושלמת