מטריצות כפונקציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | כניסה |
| output/ˈaʊtpʊt/ | יציאה |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | הרכבה |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה הפוכה |
מטריצה היא פונקציה
- השתמשת בפונקציות שקולות מספר ומחזירות מספר.
- מטריצה לוקחת וקטור ומחזירה וקטור — גם זו פונקציה.
- ה"חוק" שלה הוא: להכפיל את הוקטור הנכנס במטריצה.
- ראית מטריצה כך מחבר אותה לכל מה שידוע לך על פונקציות.
כניסה, יציאה
- הכניסה היא וקטור; המטריצה מעבדת אותו; היציאה הוא וקטור חדש.
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ לוקח $\langle 4, 5\rangle$ ומביא ל$\langle 8, 15\rangle$ — היא מתיחה בכל כיוון.
- חשוב על המטריצה כמכונה: וקטור נכנס למעלה, ווקטור מופעל יוצא למטה.
- אזור שלם של כניסות ממופה לאזור שלם של יציאות.
בהתבוננות במטריצה 2 × 2 כפונקציה, ה-נפלט וה-כנפלט שלה הם שניהם…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מטריצה כפונקציה לוקחת וקטור כנפלט ומוציאה וקטור נפלט – פונקציה ממישור למישור.
המטריצה $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (כנפלט $\to$ נפלט) שולחת את $\langle 4, 5\rangle$ ל-$\langle 8, ?\rangle$. מהו ה-$y$ הנפלט?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שורה 2 היא $\langle0, 3\rangle$, ולכן הפלט הוא $y = 3\cdot5 = 15$; כלל הפלט הוא $\langle8, 15\rangle$.
פונקציה מהמישור למישור
- הקלטות הן כל הווקטורים במישור; התוצאות הן גם כן וקטורים במישור.
- לכן, מטריצה $2\times2$ היא פונקציה שעוצבת מחדש את כל המישור בבת אחת.
- חיבור שתי פונקציות אלו – תוצאת האחת נכנסת כקלט של השנייה – הוא הרכבה.
- המטריצה של ההרכבה היא פשוט מכפלה של שתי המטריצות.
חיבור שתי פונקציות מטריצות (אחת לאחר השנייה) הוא הרכבה, והמטריצה שלו היא המכפלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כמו בהרכבת פונקציות רגילות, חיבור פונקציות מטריצות כופל את המטריצות שלהן.
הפיכת הפונקציה
- אם פונקציה ניתנת להפיכה, ההפיכה שלה נקראת פונקציה הפוכה.
- עבור פונקציית מטריצה, הפונקציה ההפוכה היא בדיוק המטריצה ההפוכה.
- היא קיימת רק כאשר הדטרמיננטה אינה אפס – אותה תנאי כמו קודם.
- יישום מטריצה ולאחר מכן ההפוכה שלה מחזיר כל וקטור למקום שבו היה בתחילה.
מטריצה כפונקציה
מטריצה לוקחת וקטור כנפלט וקטור – פונקציה על וקטורים.
הפונקציה ההפוכה של פונקציית מטריצה נתונה על ידי…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המטריצה ההפוכה מבטלת את הפונקציה — היא קיימת רק כאשר הדטרמיננטה אינה אפס.
בחרו כל האמירות הנכונות לגבי מטריצות כפונקציות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפלט הוא וקטור, ולא מספר. השלוש האחרים נכונים.
מדוע מבט הפונקציה עוזר
- הוא מאפשר לך להשתמש ברעיונות פונקציונליים: תחום הגדרה, טווח, הרכבה, הפוך.
- ההרכבה כמכפלה מסבירה מדוע סדר ההמרה חשוב.
- בדיקת הדטרמיננטה הופכת לשאלה "האם לפונקציה זו יש הפוך?"
- זהו הגשר מפונקציות שלפני-קלקולוס לאלגברה ליניארית.
לא כל פונקציית מטריצה ניתנת להפיכה. אם הדטרמיננטה היא אפס, המטריצה "משטחת" את המישור לקו – קלטים רבים משתפים תוצאה אחת, ולכן אין פונקציה הפוכה. אפשרות ההפיכה דורשת דטרמיננטה שאינה אפס.
נניח $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$.
- קלט $\langle1,1\rangle$ → תוצאה $\langle2,3\rangle$.
- קלט $\langle4,5\rangle$ → תוצאה $\langle8,15\rangle$.
- דטרמיננטה $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$, ולכן ל$f$ יש פונקציה הפוכה שמצמצמת פי $\tfrac12$ ופי $\tfrac13$.
מטריצה היא פונקציה שבה הקלט והתוצאה הם שניהם וקטורים – מפה מהמישור למישור. חיבור פונקציות מטריצה הוא הרכבה, ומטריצת ההרכבה היא המכפלה. הפונקציה ההפוכה היא המטריצה ההפוכה, שקיימת רק כאשר הדטרמיננטה אינה אפס.