המרת ליניאריות ומטריסות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | המרה ליניארית |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | ריבוע יחידה |
| shear/ʃɪə/ | זרם |
מטריצה מזיזה נקודות
- מטריצה עושה יותר מאשר רק אחסון של מספרים — היא יכולה להזיז כל נקודה במישור.
- הזנת וקטור לתוכה, והיא מחזירה וקטור חדש ומעוצב.
- ריבועים יכולים להפוך למעוותים; רשתות יכולות להימתח או להסתובב.
- הדבר הופך מטריצה למכונה לעיצוב מחדש של המרחב.
מהי המרה ליניארית
- המרה ליניארית היא פונקציה שמטפסת כל וקטור לוקטור חדש.
- היא משאירה את המקור קבועה ושומרת על קווי רשת ישרים ומרווחים באופן אחיד.
- אין עיקום, אין קריעה — קווים מקבילים נשארים מקבילים.
- כל המרה ליניארית של המישור ניתן לתיאור ככפל במטריצה.
המרה ליניארית של המישור תמיד…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המרה ליניארית שומרת על הראשית במקום ומטפלת קווי רשת ישרים ומרווחים באופן שווה לקווים ישרים ומרווחים באופן שווה.
העמודות מראות לאן הצירים הולכים
- עמודה 1 מראה לאן הוקטור $\langle 1, 0\rangle$ מגיע; עמודה 2, לאן $\langle 0, 1\rangle$ מגיע.
- ידע בשני התמונות הללו מספר לך לאן כל נקודה הולכת.
- כדי לבצע המרה של וקטור, כופלים את המטריצה בו (שורה-עמודה).
- הריבוע היחידי הופך למקבילית — צורתו חושפת את ההמרה.
עמודיות המטריסה מראות לאן עמודיות הבסיס ____ נופלות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עמודה 1 היא האם $\langle1,0\rangle$ נופלת ועמודה 2 היא האם $\langle0,1\rangle$ נופלת — דבר זה מתאר במלואו את ההמרה.
המטריצה $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ שולחת את $\langle1,1\rangle$ ל-$\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. מהי ה-$x$ החדשה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שורה 1 נקודתית עם $\langle1,1\rangle$: $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, ולכן התמונה היא $\langle3, 1\rangle$.
המרות מוכרות
- הגדלה: מטריצה אלכסונית מתיחה או דחיסה לאורך הצירים.
- סיבוב: מטריצה מיוחדת מסובבת את המישור סביב המקור.
- עיוות: מחליקה בכיוון אחד תוך החזקת השני — כמו טקסט בנטייה.
- השתקפות: הופכת את המישור מעבר לקו.
המרות ליניאריות כמטריסות
סיבוב הוא המרה ליניארית; מטריסה זו מסובבת את המישור ברביע סיבוב.
ביצוע טרנספורמציה ליניארית אחת לאחר השנייה תואם להכפלת המטריצות שלהן.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הרכבת טרנספורמציות היא הכפלת מטריצות – ומכאן שסדר ההכפלה חשוב.
בחרו ב-כל האמירות הנכונות לגבי טרנספורמציות ליניאריות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
טרנספורמציות ליניאריות שומרות על ישרים ישרים – הן לעולם לא מעוותות את הרשת לקמרים.
שילוב המרות
- ביצוע המרה אחת, ולאחר מכן המרה אחרת: התוצאה היא המרה חדשה אחת.
- המטריצה שלו היא המכפלה של שתי המטריצות.
- מכיוון שכפול מטריצות תלוי בסדר, "סיבוב ולאחר מכן שיבוש" שונה מ"שיבוש ולאחר מכן סיבוב".
- לכן גרפיקת מחשב עוטפת הפעלות על ידי כפל מטריצות.
הסדר של הפעלות משולבות חשוב. יישום $A$ ולאחר מכן $B$ הוא מכפלת המטריצות $BA$ — מטריצת ההפעלה השנייה נמצאת ב-שמאל. החלפת הסדר בדרך כלל מניבה תוצאה שונה, בדיוק כמו $BA \ne AB$ עבור מטריצות.
ישרו $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ על קודקודי ריבוע היחידות.
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — הקצה התחתון מתאריך פי שניים.
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — הקצה העליון מחליק ימינה (שיבוש).
- הריבוע הופך למקבילית משופעת, בדיוק כפי שמוצג בתרשים.
הפעלה ליניארית מייצרת וקטור חדש מכל וקטור, שמירה על המקור במקום ושמירה על קווי הרשת ישרים — והכל נובע מכפל במטריצה. העמודות של המטריצה הן המקומות שבהם הצירים נופלים, ולכן היא הופכת את ריבוע היחידות למקבילית. שילוב הפעלות אומר כפל מטריצות, והסדר חשוב.