ההופך והדטרמיננטה של מטריצה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | מטריצה הפוכה |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | דטרמיננטה |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | מטריצת יחידה |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | לא הפיכה |
ביטול פעולה של מטריצה
- כפל במטריצה משנה את המרחב — אך האם ניתן לבטל זאת?
- עבור מספרים רגילים, חלוקה ב-$5$ מבטלת כפל ב-$5$.
- למטריצות יש "הפך" משלהן — המטריצה ההפוכה.
- קודם נזדקק למספר אחד שמחליט אם הפוך קיים אף על פי כן: הדטרמיננטה.
הדטרמיננטה
- ה-דטרמיננטה של $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ היא המספר היחיד $ad - bc$.
- גיאומטרית, הגודל שלה הוא ה-שטח המקבילית שהעמודות משרטות.
- דטרמיננטה גדולה מצביעה על כך שהמטריצה מתיחה את השטח הרבה; קטנה, מעט מאוד.
- דטרמיננטה של אפס מציינת שהעמודות מקבילות זו לזו — המקבילית שטוחה.
עבור $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, הדטרמיננטה היא $3\cdot2 - 1\cdot1$. מה היא?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ה-דטרמיננטה של $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ היא $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$.
באופן גיאומטרי, גודל הדטרמיננטה של 2 × 2 מראה לך…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערךו המוחלט של הדטרמיננטה הוא ה-שטח שהוטל על ידי המטריצה — שטח אפס מעיד על כך שעמודותיה מקבילות.
ההופכה
- ה-מטריצה ההפוכה $A^{-1}$ היא המטריצה ש*מבטלת את $A$.
- הכפלה שלהן נותנת את מטריצת היחידה $I$ — הגרסה למטריצות של $1$: $A A^{-1} = I$.
- עבור מטריצה $2\times2$, תוצאה היא $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$.
- שים לב למכפיל $ad - bc$ המופיע במכנה.
כפלת מטריצה ב-הופכה שלה נותנת את המטריצה היחידתית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לפי הגדרת $A A^{-1} = I$, המטריצה היחידתית — גרסת המטריסה של המספר $1$.
כאשר קיים הפוך
- אין לחלק ב-$ad - bc$ אם הוא אפס — ולכן מכפיל אפס מעיד על absence of inverse (אין הפוך).
- מטריצה כזו היא לא הפיכה: היא דוחסת את המישור לקו ואובדת מידע.
- מכפיל שאינו אפס מבטיח הפוך יחיד.
- לכן, המכפיל הוא הבדיקה המהירה: מכפיל שאינו אפס $\Rightarrow$ הפיך.
הדטרמיננטה היא גורם שטח
הדטרמיננטה מראה עד כמה המטריצה מרחיבה שטח; כאן היא מרחיבה שטח פי ארבע.
מטריסה בגודל 2 × 2 יש הופכה רק כאשר הקובעת שלה…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם $\det = 0$ העמודיות מקבילות ואין הופכה — המטריסה אינה הפיכה.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רק מטריסות בעלות קובעת אי-אפסיות הן הפיכות, ולכן לא כל מטריסה יש הופכה.
מדוע זה חשוב
- הפוך פותר משוואת מטריצות $A\vec{x} = \vec{b}$ בשלב אחד: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$.
- זו בדיוק הדרך שבה פותרים מערכת משוואות ליניאריות עם מטריצות.
- המכפיל גם מספר מתי מערכת יש לה פתרון לא יחיד (det $= 0$).
- רעיונות אלו מהווים את הבסיס לגרפיקה מחשבית, קריפטוגרפיה ומדעי נתונים.
למטריצה יש הפוך רק כאשר המכפיל שלה אינו אפס. אם $ad - bc = 0$, הנוסחה מחלקת באפס — אין הפוך, ומערכת $A\vec{x} = \vec{b}$ תהיה בעלת אף פתרון או אינסוף פתרונות. תמיד בדוקו את המכפיל קודם כל.
הפכו את $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$.
- מכפיל: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (אינו אפס, ולכן קיים הפוך).
- החליפו את האלמנטים באלכסון הראשי, הפכו את סימן האלמנטים מחוץ לאלכסון, וחלקו ב-$5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- בדקו: $A A^{-1} = I$. ✓
ה-מכפיל $ad - bc$ הוא מספר אחד המדד את השטח שמטריצה מקימה. ה-הפוך $A^{-1}$ ביטול פעולת המטריצה, כאשר $A A^{-1} = I$ (ה-מטריצה היחידה). קיים הפוך רק כאשר המכפיל אינו אפס; מכפיל אפס מעיד שהמטריצה היא לא הפיכה.